定义（积分依赖）:
设 S {\displaystyle S} 为一个交换环，设 R ⊂ S {\displaystyle R\subset S} 为一个子环，使得 S / R {\displaystyle S/R} 是一个环扩张。一个元素 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 被称为在 R {\displaystyle R} 上是 **积分** 的，如果存在一个首一多项式，其系数在 R {\displaystyle R} 中，
使得 p ( s ) = 0 {\displaystyle p(s)=0} .
命题（关于 的判别条件）:
{{{2}}}
命题（积分元素的多项式仍是积分的）:
设 S / R {\displaystyle S/R} 是一个环扩张， s 1 , … , s k ∈ S {\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{k}\in S} 在 R {\displaystyle R} 上是积分的， p ( x 1 , … , x n ) ∈ R [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]} 。那么 p ( s 1 , … , s k ) {\displaystyle p(s_{1},\ldots ,s_{k})} 在 R {\displaystyle R} 上是积分的。
证明：设 S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} 是 S {\displaystyle S} 的一个环扩张，使得 p {\displaystyle p} 在 S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} 中分解为线性因子；这样的扩张总是存在的。 ◻ {\displaystyle \Box }
是一个环扩张，
在 
上是积分的，![{\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944251cca258a6c1dc8a306ae2629570d5f43557)
。那么 
在 上是积分的。
是 
的一个环扩张，使得 
在 中分解为线性因子；这样的扩张总是存在的。
，
