交换代数/交集和素理想链或克鲁尔理论

定义 17.1:

令 $R$ 为一个环。 $R$ 的 **（克鲁尔）维数** 被定义为

$\dim R:=\sup\{n\in \mathbb {N} |\exists p_{0},\ldots ,p_{n}\leq R{\text{ prime }}:p_{0}\subsetneq p_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq p_{n}\}$.

定理 18.1（素理想回避）:

令 $J,I_{1},\ldots ,I_{n}$ 为环 $R$ 中的理想，使得最多两个理想 $I_{1},\ldots ,I_{n}$ 不是素理想。如果 $J\subseteq \bigcup \limits _{k=1}^{n}I_{k}$，则存在一个 $m\in \mathbb {N}$ 使得 $J\subseteq I_{m}$。

证明 1:

我们直接证明定理。首先考虑情况 $n=2$。令 $a\in J\setminus I_{1}$ 且 $b\in J\setminus I_{2}$。则 $a\in I_{2}$，$b\in I_{1}$ 且 $a+b\in J$。若情况 $a+b\in I_{1}$，我们有 $a\in I_{1}$，若情况 $a+b\in I_{2}$，我们有 $b\in I_{2}$。两者都是矛盾的。

现在考虑情况 $n>2$。不失一般性，我们可以假设 $I_{1},I_{2}$ 不是素理想，其他所有理想都是素理想。如果 $J\subseteq I_{1}\cup I_{2}$，则结论由我们已经证明的内容可得。否则，存在元素 $b\in J\cap (I_{3}\cup \cdots \cup I_{n}\setminus (I_{1}\cup I_{2}))$。不失一般性，我们可以假设 $b\in J\cap (I_{3}\setminus (I_{1}\cup I_{2}))$。我们断言 $J\subseteq I_{3}$。首先假设

假设不然。如果存在 $a\in I_{1}$（或 $I_{2}$），则 ${\displaystyle }$.

未完成

证明 2:

我们通过对 $n$ 进行归纳证明。情况 $n=2$ 我们从前面的证明中得到。令 $n>2$。根据归纳假设，我们有 $J$ 不包含在任何 $I_{1}\cup \cdots \cup {\hat {I_{k}}}\cup \cdots \cup I_{n}$ 中，其中帽符号表示不计入并集的第 $k$ 个理想，对于每个 $k\in \{1,\ldots ,n\}$。因此，我们可以为每个 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 选择 $a_{k}\in J\setminus I_{1}\cup \cdots \cup {\hat {I_{k}}}\cup \cdots \cup I_{n}$。由于 $n>2$，理想 $I_{1},\ldots ,I_{n}$ 中至少有一个是素理想；假设 $I_{m}$ 是这个素理想。考虑 $J$ 中的元素

$b:=a_{m}+a_{1}\cdots a_{m-1}a_{m+1}\cdots a_{n}$.

对于 $j\neq m$，$b$ 不包含在 $I_{j}$ 中，因为否则 $a_{m}$ 将包含在 $I_{j}$ 中。对于 $j=m$，$b$ 也同样不包含在 $I_{j}$ 中，这次是因为否则 $a_{1}\cdots a_{m-1}a_{m+1}\cdots a_{n}\in I_{j}=I_{m}$，这与 $I_{m}$ 是素理想相矛盾。因此，我们得到了一个与假设相矛盾的结果。$\Box$