交换代数/核、余核、积、余积

核

定义 3.1:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有零对象的范畴，并令 $f:a\to b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中两个对象 $a,b$ 之间的态射。$f$ 的 **核** 是一个箭头 $k:o_{k}\to a$，其中 $o_{k}$ 是我们将称为与核 $k$ 相关的对象，使得

1. $f\circ k=0_{o_{k},b}$，并且
2. 对于 ${\mathcal {C}}$ 中的每个对象 $z$ 和每个态射 $g:z\to a$ 使得 $f\circ g=0_{z,b}$，存在一个唯一的 $g':z\to o_{k}$ 使得 $g=k\circ g'$.

第二个性质在以下交换图中描述

注意，这里，我们不只是将核视为子集，而是将核视为一个对象以及一个态射。这是因为例如在群范畴中，我们可以通过包含来获得态射。让我解释一下。

示例 3.2:

在群范畴中，每个态射都有一个核。

证明:

令 $G,H$ 是群，并且 $\varphi :G\to H$ 是一个态射（即群同态）。我们设置

$o_{k}:=\{g\in G:\varphi (g)=0\}$

以及

$k:o_{k}\to G,k(g)=g$,

是包含映射。这确实是群范畴中的一个核。因为如果 $\theta :K\to G$ 是一个群同态，使得 $\varphi \circ \theta =0$，则 $\theta$ 映射到 $o_{k}$，我们可以简单地写成 $\theta =k\circ \theta$。这显然也是唯一的分解。$\Box$

对于核，以下定理成立：

定理 3.3:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有零对象的范畴，设 $f:a\to b$ 是一个态射，设 $k:o_{k}\to a$ 是 $f$ 的一个核。则 $k$ 是单射的（即单态射）。

证明:

设 $k\circ s=k\circ t$。情况如下图所示：

这里，三个下方的箭头描述了核的一般性质。现在，态射 $k\circ s$ 和 $k\circ t$ 都是关于 $k$ 的态射 $k\circ s$ 的分解。根据分解的唯一性， $s=t$。$\Box$

核本质上是唯一的。

定理 3.4:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有零对象的范畴，设 $f:a\to b$ 是一个态射，并且设 $k:o_{k}\to a$，${\tilde {k}}:o_{\tilde {k}}\to a$ 是 $f$ 的两个核。那么

$o_{k}\cong o_{\tilde {k}}$;

也就是说，$k$ 和 ${\tilde {k}}$ 是同构的。

证明:

从核的第一个性质，我们得到 $f\circ k=0$ 和 $f\circ {\tilde {k}}=0$。因此，核的第二个性质意味着交换图

和 .

我们断言 $k'$ 和 ${\tilde {k}}'$ 互为逆。

${\tilde {k}}k'{\tilde {k}}'=k{\tilde {k}}'={\tilde {k}}={\tilde {k}}1_{o_{\tilde {k}}}$ 和 $k{\tilde {k}}'k'={\tilde {k}}k'=k=k1_{o_{k}}$.

由于根据定理 3.3，$k$ 和 ${\tilde {k}}$ 都是单项式，我们可以将它们约掉得到

$k'{\tilde {k}}'=1_{o_{\tilde {k}}}$ 和 ${\tilde {k}}'k'=1_{o_{k}}$,

也就是说，我们得到了逆箭头，因此，根据定义，它们是同构。$\Box$

余核

一个类似的概念是余核。这个概念在数学中很常见，但在本科阶段不那么常见。

定义 3.5:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一个带有零对象的范畴，令 $f:a\to b$ 是两个对象 $a,b$ 之间的态射，其中 $a,b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的对象。$f$ 的余核 是一个箭头 $u:b\to o_{u}$，其中 $o_{u}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的一个对象，我们可以将其称为与余核 $u$ 相关的对象，使得

1. $u\circ f=0_{a,o_{u}}$，并且
2. 对于每个对象 $c$ 的 ${\mathcal {C}}$ 和每个态射 $h:b\to c$ 使得 $h\circ f=0_{a,c}$，存在唯一的因式分解 $h=h'\circ u$ 对于适当的态射 $h'$.

第二个性质在下面的图片中描述

同样，这个概念只是对“日常”范畴中观察到的事实的概括。我们第一个关于上核的存在的例子将是阿贝尔群中上核的存在。现在实际上，上核甚至存在于群的范畴中，但构造有点棘手，因为一般来说，像可能不是一个正规子群，这就是为什么我们可能无法通过像形成商群的原因。然而，在阿贝尔群中，所有子群都是正规的，因此这是可能的。

例 3.6:

在阿贝尔群的范畴中，每个态射都有一个上核。

证明:

令 $G,H$ 是任意两个阿贝尔群，令 $\varphi :G\to H$ 是一个群同态。我们设置

$o_{u}:=H/\operatorname {im} \varphi$;

我们可以形成这个商群，因为在阿贝尔群中，所有子群都是正规的。此外，我们设置

$u:H\to H/\operatorname {im} \varphi ,u(h)=h+\operatorname {im} \varphi$,

投影（我们遵循用加法形式写阿贝尔群的习惯）。现在令 $\eta :H\to I$ 是一个群同态，使得 $\eta \circ \varphi =0$，其中 $I$ 是另一个阿贝尔群。则函数

$\eta ':H/\operatorname {im} \varphi \to I,\eta '(h+\operatorname {im} \varphi ):=\eta (h)$

是良定义的（因为群态射的规则）并且 $h$ 的期望唯一因式分解由 $h=\eta '\circ u$ 给出。$\Box$

定理 3.7:

每个上核都是一个满射。

证明:

设 $f$ 是一个态射，$u$ 是一个相应的余核。假设 $t\circ u=s\circ u$。下图描述了这种情况

现在，$t\circ u\circ f=0$，并且 $t\circ u$ 和 $s\circ u$ 由于它们是相等的，因此都是 $t\circ u$ 的因式分解。因此，根据余核定义中要求的这种因式分解的唯一性，$s=t$。$\Box$

定理 3.8:

如果态射 $f$ 具有两个余核 $u$ 和 ${\tilde {u}}$（我们称相关的对象为 $o_{u}$ 和 $o_{\tilde {u}}$），那么 $u\cong {\tilde {u}}$；也就是说，$u$ 和 ${\tilde {u}}$ 是同构的。

证明:

我们再次得到 $u\circ f=0$ 和 ${\tilde {u}}\circ f=0$，因此我们得到了交换图

和 .

我们再次断言 $u'$ 和 ${\tilde {u}}'$ 互为逆映射。事实上，我们得到了如下等式

$u'{\tilde {u}}'u=u'{\tilde {u}}=u=1_{o_{u}}u$ 和 ${\tilde {u}}'u'{\tilde {u}}={\tilde {u}}'u={\tilde {u}}=1_{o_{u'}}{\tilde {u}}$

并且根据消去律（由于定理 8.7，$u$ 和 ${\tilde {u}}$ 都是满射），我们得到

$u'{\tilde {u}}'=1_{o_{u}}$ 和 ${\tilde {u}}'u'=1_{o_{u'}}$

因此定理得证。$\Box$

核与余核之间的相互作用

定理 3.9:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有零对象的范畴，并设 $k$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的某个态射，使得 $k$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中某个任意态射 $f$ 的核。那么 $k$ 也是其自身任何余核的核。

证明:

$k=\ker f$ 意味着

.

我们令 $q:=\operatorname {coker} k$，即

.

特别地，由于 $fk=0$，存在唯一的 $f'$ 使得 $f=f'q$。我们现在需要 $k$ 是 $p$ 的核，即

.

因此假设 $ql=0$。那么 $fl=f'ql=0$。因此，根据最上面的图（在这个证明中），$l=kl'$ 对于唯一的 $l'$，这正是我们想要的。此外，$qk=0$ 来自这个证明中的第二个图。 $\Box$

定理 3.10:

令 ${\mathcal {C}}$ 为一个带有零对象的范畴，并令 $q$ 为 ${\mathcal {C}}$ 中的态射，使得 $q$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中某个任意态射 $r$ 的核。那么 $q$ 也是它本身的任何核的余核。

证明:

陈述$q$是$r$的余核。

.

我们设置$k:=\ker q$，也就是说

.

特别地，由于$qr=0$，$r=kr'$，对于一个合适且唯一的态射$r'$。我们现在希望$q$成为$k$的余核，也就是说，

.

令$mk=0$。那么也存在$mr=mkr'=0$，因此$m$有唯一的分解$m=m'q$，根据最上面的图。 $\Box$

推论 3.11:

令${\mathcal {C}}$为一个具有零对象的范畴，其中所有态射都有核和余核，且令$f$为${\mathcal {C}}$的任意态射。那么

$\ker f=\ker(\operatorname {coker} (\ker f))$

以及

$\operatorname {coker} f=\operatorname {coker} (\ker(\operatorname {coker} f))$.

等式

$\ker f=\ker(\operatorname {coker} (\ker f))$

应理解为“$f$的核是其任何余核的核”，另一个等式也是如此，只是将核替换为余核，反之亦然。

证明:

$k:=\ker f$是一个作为某种核的态射。因此，根据定理 3.9

$k=\ker(\operatorname {coker} (k))$

(其中方程式应读作 "$k$ 是任何 $k$ 的余核的核）。类似地，从定理 3.10

$q=\operatorname {coker} (\ker(q))$,

其中 $q:=\operatorname {coker} f$.$\Box$

乘积

定义 3.12:

令 ${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，并令 $a,b$ 为 ${\mathcal {C}}$ 的两个对象。 $a$ 和 $b$ 的 **乘积**，记为 $a\times b$，是 ${\mathcal {C}}$ 的一个对象，以及两个态射

$\pi _{a}:a\times b\to a$ 和 $\pi _{b}:a\times b\to b$，

称为 $a\times b$ 的 **投影**，使得对于任何态射 $f:c\to a$ 和 $g:d\to b$，存在唯一的态射 ${\displaystyle }$ 使得以下图表可交换

[[]]

示例 3.13:

定理 3.14:

如果 ${\mathcal {C}}$ 是一个范畴，$a,b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的对象，$p,q$ 是 $a$ 和 $b$ 的积，那么

$p\cong q$,

也就是说，$p$ 和 $q$ 是同构的。

定理 3.15:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一个范畴，$a,b$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的对象，$a\times b$ 是 $a$ 和 $b$ 的积。那么投影态射 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$ 是单态射。

余积

定义 3.16:

令 ${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，并令 $a$ 和 $b$ 为 ${\mathcal {C}}$ 的对象。那么 $a$ 和 $b$ 的 **直和** 是 ${\mathcal {C}}$ 的另一个对象，记为 $a\coprod b$，以及两个态射 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$，使得对于任何态射 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$，存在态射，使得 ${\displaystyle }$ 和 ${\displaystyle }$.

例 3.17:

定理 3.18:

定理 3.19:

双积

定义 3.20:

令 ${\mathcal {C}}$ 为包含两个对象 $a$ 和 $b$ 的范畴。假设我们给定一个对象 $c$ ${\mathcal {C}}$，以及四个态射，使其成为积，同时也是一个并积。那么我们称 $c$ 为两个对象 $a$ 和 $b$ 的 **双积**，并将其表示为

$c=a\oplus b$.

示例 3.21:

在阿贝尔群的范畴中，双积由积群给出；如果 $G,H$ 是阿贝尔群，将 $G$ 和 $H$ 的积群设为

$G\times H$,

笛卡尔积，具有逐分量群运算。

证明: