交换代数/模、子模和同态

基础

定义 5.1 (模):

令 $R$ 为一个环。左 $R$-模 是一个阿贝尔群 $M$ 以及一个函数

$R\times M\to M,(r,m)\mapsto rm$

使得

1. $\forall m\in M:1_{R}m=m$,
2. $\forall m,n\in M,r\in R:r(m+n)=rm+rn$,
3. $\forall m\in M,r,s\in R:(r+s)m=rm+sm$ 以及
4. $\forall m\in M,r,s\in R:r(sm)=(rs)m$.

类似地，可以定义右 $R$-模，带有运算 $R\times M\to M,(r,m)\mapsto mr$；区别仅仅是形式上的，但这将有助于我们以后用更方便的方式定义双模。

为了简便起见，我们经常写 模 来代替 左 $R$-模。

• 练习 5.1.1：证明每个阿贝尔幺半群 $(M,+)$ 以及定义 5.1 中 1.) - 4.) 所指定的运算，本身就是一个模。

子模

定义 5.2 (子模):

闭合于模函数下 (即上面定义的左乘运算) 的子群 $N\leq M$ 被称为子模。在这种情况下，我们写作 $N\leq M$。

以下引理给出了判断模的子集是否为子模的判据。

引理 5.3:

子集 $N\subseteq M$ 是一个子模，当且仅当

$\forall r\in R,n,q\in N:rn-q\in N$.

证明:

令 $N$ 为子模。那么由于 $-q\in N$，因为我们有一个阿贝尔群，并且进一步 $rn\in N$ 由于模运算下的封闭性，也有 $rn+(-q)=:rn-q\in N$。

如果 $N$ 满足 $\forall r\in R,n,q\in N:rn-q\in N$，那么对于任何 $n,m\in N$ 也有 $n+m=n+(-1_{R})(-m)\in N$。

定义和定理 5.4（商模）：如果 $N$ 是 $N$ 的子模，那么由 $N$ 生成的商模定义为群 $M/N$ 以及模运算

$r(m+N):=rm+N$.

此运算定义良好，并满足定义 5.1 中的 1. - 4.

证明:

良定义：如果 $m+N=p+N$，那么 $m-p\in N$，因此 $r(m-p)=rm-rp\in N$ 并且因此 $rm+N=rp+N$.

1. $1_{R}(m+N)=(1_{r}m)+N=m+N$
2. $r(n+N+m+N)=r((m+n)+N)=r(m+n)+N=rm+rn+N=rm+N+rn+N$
3. $(r+s)(m+N)=(r+s)m+N=rm+sm+N=rm+N+rn+N$
4. 类似于 3.（用 $\cdot$ 代替 $+$）$\Box$

子模的和与交

我们现在要问这样一个问题：给定一个模 $M$ 和某些子模 $\{N_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$，哪个模是最小的包含所有 $N_{\alpha }$ 的模？哪个模是最大的模，它本身包含在所有 $N_{\alpha }$ 中？以下定义和定理将回答这些问题。

定义和定理 5.5（子模的和）:

令 $M$ 是某个环 $R$ 上的一个模，令 $\{N_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的子模。集合

$\sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }:=\left\{\sum _{l=1}^{k}r_{l}n_{\alpha _{l}}{\big |}k\in \mathbb {N} ,r_{l}\in R,n_{\alpha _{l}}\in N_{\alpha _{l}}\right\}$

是$M$的子模，它是$M$中最小的包含所有$N_{\alpha }$的子模。它被称为$\{N_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$的 **和**。

证明:

1. $\sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }$ 是一个子模

• 它是一个阿贝尔子群，因为如果$\sum _{l=1}^{k}r_{l}n_{\alpha _{l}},\sum _{j=1}^{m}s_{l}n_{\beta _{j}}\in \sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }$，那么

$\sum _{l=1}^{k}r_{l}n_{\alpha _{l}}-\sum _{j=1}^{m}s_{l}n_{\beta _{j}}=\sum _{l=1}^{k}r_{l}n_{\alpha _{l}}+\sum _{j=1}^{m}(-s_{l})n_{\beta _{j}}\in \sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }$.

• 它在模运算下是封闭的，因为

$s\left(\sum _{l=1}^{k}r_{l}n_{\alpha _{l}}\right)=\sum _{l=1}^{k}(sr_{l})n_{\alpha _{l}}\in \sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }$.

2. 每个 $N_{\alpha }$ 都包含在 $\sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }$ 中。

这是因为对于每个 $\alpha \in A$ 和每个 $n_{\alpha }\in N_{\alpha }$，都有 $1_{r}n_{\alpha }\in \sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }$ 成立。

3. $\sum _{\alpha \in A}N_{\alpha }$ 是包含所有 $N_{\alpha }$ 的最小子模：如果 $K\leq M$ 是另一个这样的子模，则 $K$ 必须包含所有元素

$\sum _{l=1}^{k}r_{l}n_{\alpha _{l}},k\in \mathbb {N} ,r_{l}\in R,n_{\alpha _{l}}\in N_{\alpha _{l}}$

因为其在加法和子模运算下封闭。$\Box$

定义和定理 5.6（子模的交集）:

令 $M$ 是环 $R$ 上的模，并令 $\{N_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的子模。则集合

$\bigcap _{\alpha \in A}N_{\alpha }$

是$M$的子模，它是$M$中包含所有$N_{\alpha }$的最大子模。它被称为$N_{\alpha }$的交集。

证明:

1. 它是一个子模：事实上，如果$r\in R,n,p\in \bigcap _{\alpha \in A}N_{\alpha }$，则对于每个$\alpha$，都有$n,p\in N_{\alpha }$，因此对于每个$\alpha$，都有$n-rp\in N_{\alpha }$，因此$n-rp\in \bigcap _{\alpha \in A}N_{\alpha }$。

2. 根据交集的定义，它包含在所有$N_{\alpha }$中。

3. 任何包含每个$N_{\alpha }$中所有元素的集合都包含在交集内。$\Box$

我们有以下关于交集和求和运算的规则

定理 5.7 (模律；戴德金):

令$M$为模，且$K,L,N\leq M$，使得$L\subseteq K$。那么

$K\cap (L+N)=L+(K\cap N)$.

证明:

$\subseteq$: 令 $l+n\in (L+N)\cap K$. 由于 $L\subseteq K$, $l\in K$ 因此 $n\in K$. 由于根据假设 $n\in N$, $l+n\in L+K\cap N$.

$\supseteq$: 令 $l+m\in L+(K\cap N)$. 由于 $L\subseteq K$, $l\in K$ 并且由于进一步 $m\in K$, $l+m\in K$. 因此，$l+m\in K\cap (L+N)$.$\Box$

更抽象地说，子模的和与交的性质可以在以下方式中理论上被捕获。

格

定义 5.8:

一个格是一个集合 $L$ 连同两个运算 $\vee :L\times L\to L$ (称为并或最小上界) 和 $\wedge :L\times L\to L$ (称为交或最大下界) 使得以下定律成立

1. 交换律：$a\Box b=b\Box a$, $\Box \in \{\vee ,\wedge \}$
2. 幂等律：$a\Box a=a$, $\Box \in \{\vee ,\wedge \}$
3. 吸收律：$a\Box (a\triangledown b)=a$, $\{\Box ,\triangledown \}=\{\vee ,\wedge \}$
4. 结合律：$a\Box (b\Box c)=(a\Box b)\Box c$, $\Box \in \{\vee ,\wedge \}$

格有几种特殊类型

定义 5.9:

模格 $L$ 是满足以下恒等式的格

${\displaystyle }$

成立。

定理 5.10（偏序集作为格）:

设 $\leq$ 是集合 $L$ 上的偏序关系，使得

1. 每个集合 $S\subseteq L$ 都有一个最小上界（其中最小上界 $u$ of $S$ 满足 $u\geq s$ 对于所有 $s\in S$（即它是上界）并且 $u\leq x$ 对于所有其他 $S$ 的上界 $x$）并且
2. 每个集合 $S\subseteq L$ 都有一个最大下界（定义类似于最小上界，不等式反转）。

那么 $L$，连同将 $\{a,b\}$ 发送到该集合的最小上界的连接运算以及类似地定义的交运算，是一个格。

事实上，仅对集合 $S$ 具有两个元素要求条件 1 和 2 就足够了。但是正如我们所展示的那样，在 $L$ 是给定模块的所有子模块的集合的情况下，我们有“原始”条件得到满足。

证明:

首先，我们注意到最小上界和最大下界是唯一的，因为例如如果 $u,u'$ 是 $S$ 的最小上界，那么 $u\leq u'$ 并且 $u'\leq u$，因此 $u=u'$。因此，连接和交运算定义良好。

交换律来自 $\{a,b\}=\{b,a\}$.

从$a$ 是集合 $\{a,a\}$ 的最小上界和最大下界这一事实可以很清楚地看出幂等律。

第一个吸收律的证明如下：设 $u$ 是 $\{a,b\}$ 的最小上界。那么，特别是，$u\geq a$。因此，$a$ 是 $\{a,u\}$ 的一个下界，并且任何下界 $l$ 都满足 $l\leq a$，这就是为什么 $a$ 是 $\{a,u\}$ 的最大下界。第二个吸收律的证明类似。

第一个结合律成立，因为如果 $u$ 是 $\{a,b,c\}$ 的最小上界，而 $v$ 是 $\{a,b\}$ 的上界，那么 $u\geq v$（因为 $u$ 是 $\{a,b\}$ 的上界），如果 $w$ 是 $\{v,c\}$ 的最小上界，那么 $w=u$，因为 $u$ 是一个上界，并且 $w\geq v\geq a$ 以及 $w\geq b$。同样的论证（交换 $a$ 和 $c$）证明了 $u$ 也是 $\{b,c\}$ 和 $a$ 的最小上界的最小上界。同样，第二个结合律的证明也是类似的。$\Box$

从定理 5.5-5.7 和 5.10 我们注意到模的子模构成一个模格，其中顺序由集合包含给出。

练习

• 练习 5.2.1: 令 $R$ 是一个环。找到一个合适的模运算，使得 $R$ 与其自身的加法和这个模运算一起构成一个 $R$-模。确保你以最简单的方式定义这个运算。进一步证明，在这个模运算下，$R$ 的子模恰好是 $R$ 的理想。

同态

现在我们将了解在固定环 $R$ 上的模范畴中的态射。

定义 5.11 (同态):

令 $M,N$ 是环 $R$ 上的两个模。从 $M$ 到 $N$ 的同态，也称为$R$-线性函数，是一个函数

$f:M\to N$

使得

1. $\forall m,p\in M:f(m+p)=f(m)+f(p)$ 并且
2. $\forall r\in R,m\in M:f(rm)=rf(m)$.

模同态的核和像与群同态的定义类似。

由于我们很酷，我们经常会简单地写态射而不是同态，只要从上下文中可以清楚地看出这一点，以表明我们对范畴论有所了解。

我们有以下有用的引理

引理 5.12:

$f:M\to N$ 是 $R$-线性当且仅当

$\forall r\in R,m,p\in M:f(rm+p)=rf(m)+f(p)$.

证明:

首先假设 $R$-线性。那么我们有

$f(rm+p)=f(rm)+f(p)=rf(m)+f(p)$.

现在假设另一种情况。然后我们有对于 $m,p\in M$

$f(m+p)=f(1_{R}m+p)=1_{R}f(m)+f(p)=f(m)+f(p)$

和

$f(rm)=f(rm+0)=rf(m)+f(0)=rf(m)$

由于 $f(0)=0$ 由于 $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$； 由于 $M$ 是一个阿贝尔群，我们可以加上 $f(0)$ 的逆元到等式两边。 $\Box$

引理 5.13:

如果 $f:M\to N$ 是 $R$-线性，那么 $\forall m\in M:f(-m)=-f(m)$.

证明:

这来自群同态的相应定理，因为每个模映射也是阿贝尔群的映射。 $\Box$

定义 5.8（同构）:

一个同构 $f:M\to N$ 是一个双射的同态。

引理 5.14:

令 $f:M\to N$ 为一个映射。以下等价

1. $f$ 是一个同构
2. $\ker f=\{0\}$
3. $f$ 存在一个同构逆映射

证明:

引理 5.15:

映射的核和像都是子模。

证明:

1. 核

$f(rn-q)=rf(n)+f(-q)=rf(n)-f(q)=0$

2. 图像

$rf(m)\overbrace {-f(p)} ^{=+f(-p)}=f(rm-p)$$\Box$

以下四个定理与群论完全类似。

定理 5.16（态射的因式分解）:

令 $M,K$ 为模，令 $\varphi :M\to K$ 为态射，令 $N\leq \ker \varphi$。 那么存在唯一的态射 ${\overline {\varphi }}:M/N\to K$ 使得 ${\overline {\varphi }}\circ \pi =\varphi$，其中 $\pi :M\to M/N,\pi (m)=m+N$ 是典范投影。在这种情况下， $\ker {\overline {\varphi }}=\ker \varphi /N$。

证明:

我们定义 ${\overline {\varphi }}(m+N):=\varphi (m)$。 这是定义良好的，因为 $\ker \varphi \subseteq N$。 此外，这个定义已经被 ${\overline {\varphi }}\circ \pi =\varphi$ 强制执行。 此外，${\overline {\varphi }}(m+N)=0\Leftrightarrow m\in \ker \varphi$。$\Box$

推论 5.17（第一同构定理）:

令 $M,K$ 为 $R$- 模, 并令 $f:M\to K$ 为一个态射。那么 $M/\ker f\cong K$.

证明:

我们设置 $N=\ker f$ 并得到一个同态 ${\overline {f}}:M/\ker f\to K$, 其核为 $N/N$, 由定理 5.11 可知。从引理 5.16 得出结论。$\Box$

推论 5.18 (第三同构定理):

令 $M$ 为一个 $R$- 模, 令 $N\leq M$, 并令 $L\leq N$。那么

$M/N\cong (M/L){\big /}(N/L)$.

证明:

由于 $L\leq N$ 且 $N\leq M$, 因此 $L\leq M$ 根据定义。我们定义函数

$\varphi :M/L\to M/N,m+L\mapsto m+N$.

这是定义良好的，因为

$m+L=p+L\Leftrightarrow m-p\in L\Rightarrow m-p\in N\Leftrightarrow m+N=p+N$.

此外,

$m+L\in \ker \varphi \Leftrightarrow m+N=0+N\Leftrightarrow m\in N$

因此 $\ker \varphi =N/L$. 由此，根据定理 5.17，我们的论点得到证明。$\Box$

定理 5.19（第二同构定理）:

令 $L,N\leq M$. 那么

$L/(L\cap N)\cong (L+N)/N$.

证明:

考虑同构

$\varphi :L\to (L+N)/N,\varphi (l):=l+N$.

那么 $\varphi (l)=0\Leftrightarrow l\in N$, 因此该同态的核由 $L\cap N$ 给出。因此，该定理由第一同构定理得出。$\Box$

现在来点完全不同的东西

定理 5.20:

令 $\varphi :M\to N$ 是关于 $R$ 的模的同态，并令 $L\leq N$. 那么 $\varphi ^{-1}(L)$ 是 $M$ 的子模。

证明:

令 $a,b\in \varphi ^{-1}(L)$. 那么 $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)\in L$, 因此 $a+b\in \varphi ^{-1}(L)$. 进一步令 $r\in R$. 那么 $\varphi (ra)=r\varphi (a)\in L$.$\Box$

类似地

定理 5.21:

令 $\varphi :M\to N$ 是 $R$ 上的模同态，并且令 $K\leq M$。那么 $\varphi (K)$ 是 $N$ 的子模。

证明: 令 $a,b\in \varphi (K)$。那么 $a=\varphi (i),b=\varphi (j)$ 并且 $a+b=\varphi (i+j)\in \varphi (K)$。进一步令 $r\in R$。那么 $ra=\varphi (ri)\in \varphi (K)$。$\Box$

练习

• 练习 5.3.1: 令 $R,S$ 为环，视为它们自身的模，如练习 5.2.1 所示。证明环同态 $\varphi :R\to S$ 正好是模同态 $R\to S$；也就是说，每个环同态都是模同态，反之亦然。

投影态射

定义 5.22:

令 $M$ 是一个模，并且 $N\leq M$。通过映射 $\pi _{N}:M\to M/N$，我们指的是将 $m\in M$ 映射到 $m+N$ 的标准投影映射；也就是说，

$\pi _{N}:M\to M/N,\pi _{N}(m):=m+N$.

对于 $\pi _{N}(\pi _{N}^{-1}(S))$ 和 $\pi _{N}^{-1}(\pi _{N}(K))$ 这两个基本方程将在后面的章节中变得至关重要，其中 $S\subseteq M/N$，$K\leq M$.

定理 5.23:

令 $M$ 为一个模，而 $N\leq M$。那么对于每个集合 $S\subseteq M/N$，$\pi _{N}(\pi _{N}^{-1}(S))=S$。此外，对于每个其他子模 $K\subseteq M$，$\pi _{N}^{-1}(\pi _{N}(K))=K+N$.

证明:

首先令 $m+N\in S$。则 $m\in \pi ^{-1}(S)$，因为 $\pi _{N}(m)=m+N$。因此，$m+N\in \pi _{N}(\pi ^{-1}(S))$。然后令 $m+N\in \pi _{N}(\pi _{N}^{-1}(S))$。则存在 $m'\in \pi _{N}^{-1}(S)$ 使得 $\pi _{N}(m')=m+N$，即 $m'+N=m+N$。现在 $m'\in \pi _{N}^{-1}(S)$ 意味着 $\pi (m')=m'+N\in S$。因此，$m+N=m'+N\in S$.

令第一个$m\in K+N$，即$m=k+n$ 对于合适的$k\in K$，$n\in N$。 然后 $\pi _{N}(m)=k+n+N=k+N=\pi _{N}(k)\in \pi _{N}(K)$，这就是为什么根据定义$m\in \pi _{N}^{-1}(\pi _{N}(K))$。 然后令$m\in \pi _{N}^{-1}(\pi _{N}(K))$。 然后 $\pi _{N}(m)=m+N\in \pi _{N}(K)$，即$m+N=k+N$ 其中$k\in K$，即$m=k+n$ 对于合适的$n\in N$，即$m\in K+N$。$\Box$

以下来自基本集合论的引理与投影态射相关，我们将多次用到它。

引理 5.24:

设 $f:S\to T$ 是一个函数，其中 $S,T$ 是完全任意的集合。那么 $f$ 通过 $A\mapsto f(A)$ 诱导出一个函数 $2^{S}\to 2^{T}$，$A$ 的像，其中 $A\subseteq S$。这个函数保持包含关系。此外，函数 $2^{T}\to 2^{S},B\mapsto f^{-1}(B)$ 也保持包含关系。

证明:

如果 $A'\subseteq A$，令 $y'\in f(A')$。那么 $y'=f(x')$ 对于某个 $x'\in A'\subseteq A$ 成立。类似地，对于 $f^{-1}$ 也成立。$\Box$