交换代数/诺特范式引理

计算准备

引理 23.1:

令 $R$ 为环，令 $f\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 为多项式。令 $N\in \mathbb {N}$ 为一个严格大于 $f$ 的任何单项式次数的数（其中任意单项式 $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}$ 的次数定义为 $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$）。那么多项式的最大单项式（关于次数）

$g(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}},x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}},\ldots ,x_{n-2}+x_{n}^{N^{2}},x_{n-1}+x_{n}^{N},x_{n})$

具有 $x_{n}^{m}$ 的形式，其中 $m\in \mathbb {N}$ 适当。

证明:

令 $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}$ 为 $f$ 的任意单项式。 将 $x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}}$ 代入 $x_{1}$， $x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}}$ 代入 $x_{2}$，得到

$(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}})^{k_{1}}(x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}})^{k_{2}}\cdots (x_{n-1}+x_{n}^{N})^{k_{n-1}}x_{n}^{k_{n}}$.

这是一个多项式，并且根据定义，$g$ 由某些系数乘以该形式的多项式组成。

我们想要找到 $g$ 的最大系数。为此，我们首先确定

$(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}})^{k_{1}}(x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}})^{k_{2}}\cdots (x_{n-1}+x_{n}^{N})^{k_{n-1}}x_{n}^{k_{n}}$

通过展开，发现始终选择 $x_{n}^{N^{j}}$ 会产生比选择其他变量 $x_{j}$ 更大的单项式。 因此，该多项式的最大单项式是

$(x_{n}^{N^{n-1}})^{k_{1}}(x_{n}^{N^{n-2}})^{k_{2}}\cdots (x_{n}^{N})^{k_{n-1}}x_{n}^{k_{n}}=x_{n}^{k_{1}N^{n-1}+k_{2}N^{n-2}+\cdots +k_{n-1}N+k_{n}}$.

现在 $N$ 大于所有 $k_{j}$，因为 $N$ 甚至大于 $f$ 的任何单项式的次数。因此，对于来自 $f$ 的单项式的 $(k_{1},\ldots ,k_{n})$，数字

$k_{1}N^{n-1}+k_{2}N^{n-2}+\cdots +k_{n-1}N+k_{n}$

表示 $N$ 进制数。特别地，对于不同的 $(k_{1},\ldots ,k_{n})$，它们之间没有两个相等，因为 $N$ 进制数必须有相同的 $N$ 位数才能相等。因此，其中有一个最大的，记为 $m_{1}N^{n-1}+m_{2}N^{n-2}+\cdots +m_{n-1}N+m_{n}$。最大的单项式是

$(x_{1}+x_{n}^{N^{n-1}})^{m_{1}}(x_{2}+x_{n}^{N^{n-2}})^{m_{2}}\cdots (x_{n-1}+x_{n}^{N})^{m_{n-1}}x_{n}^{m_{n}}$

那么

$x_{n}^{m_{1}N^{n-1}+m_{2}N^{n-2}+\cdots +m_{n-1}N+m_{n}}$;

它的度数一定大于来自单项式$f$的所有单项式的度数，其中单项式的次数为$(m_{1},\ldots ,m_{n})$，并且根据我们的选择，它也大于由$f$的任何其他单项式生成的任何多项式中最大的单项式的度数。因此，它是$g$中最大的单项式（按度数衡量），并且它具有所需的格式。$\Box$

代数上的代数无关

在域理论中众所周知的概念扩展到代数。

定理 23.2:

设$R$是一个环，$A$是一个$R$-代数。元素$a_{1},\ldots ,a_{n}$在$A$中被称为关于$R$代数无关，当且仅当不存在多项式$p\in R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 使得$p(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$（其中多项式按照第 21 章的解释进行计算）。

该定理

定理 23.3（诺特正规化引理）:

设 $D$ 为一个整环，设 $E\supseteq D$ 为 $D$ 的一个有限生成环扩张；特别是，$E$ 是一个 $D$-代数，其中代数运算由环运算诱导。然后我们可以选取一个 $d\in D$ 使得存在 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in E_{d}$ ($E_{d}$ 表示 $E_{d}$ 在 $d$ 处的局部化)，它们在 $E_{d}$ 上作为 $D_{d}$-代数是代数无关的。