交换代数/诺特环

环作为模

定理 14.1:

我们已经观察到一个环 $R$ 是它本身上的一个模，其中模运算由乘法给出，加法由环加法给出。在这种情况下，我们进一步发现 $R$ 的子模恰好是理想。

证明：成为子模意味着成为一个关于模运算封闭的加法子群。在上述情况下，这正是理想的定义。 $\Box$

性质的转移

定义 14.2:

设 $R$ 为一个（交换）环。 $R$ 被称为诺特环当且仅当 $R$ 的每个理想的上升链

I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots

最终变为稳定。

从定理 6.7 和 14.1 中，我们得到了以下诺特环的特征

定理 14.3:

以下等价

$R$ 是诺特环。
$R$ 的每个理想都是有限生成的。
$R$ 的每个理想集关于包含都有一个最大元素。

类似于定理 6.11，我们进一步得到

定理 14.4:

如果 $R$ 是诺特环， $S$ 是另一个环， $\phi :R\to S$ 是一个满射环同态，则 $S$ 是诺特环。

证明 1：类比于定理 6.11，使用环的同构定理。 $\Box$

证明 2：直接使用定理 6.11。 $\Box$

环设置中的新属性

当考虑环时，在诺特情况下，几个新属性表现出来。

{{TextBox| M=0 | W=100% | BG=#FFFFFF |1=定理 14.4

诺特环和构造

在本节中，我们将证明涉及诺特环以及它们上的模或类似局部化的结构的定理。

定理 14.4:

设 $R$ 是诺特环，设 $M$ 是一个有限生成的 $R$ -模。那么 $M$ 是诺特模。

定理 14.5（希尔伯特基定理）:

设 $R$ 是一个诺特环。那么在 $R$ 上的多项式环 $R[x]$ 也是诺特环。

证明 1:

考虑任何理想 $I\leq R[x]$ 。我们构造一个理想 $J\leq R$ ，它包含 $I$ 中所有多项式的首项系数；也就是说

a\in J:\Leftrightarrow \exists f\in I:f(x)=ax^{m}+{\text{(lower terms)}}

.

由于 $R$ 是诺特环， $J$ 具有有限个生成元；将这些生成元称为 $j_{1},\ldots ,j_{n}$ 。所有 $j_{k}$ 属于某个 $f_{j}\in R[x]$ 作为首项系数；因此，令 $d_{k}$ 表示所有 $1\leq k\leq n$ 的该多项式的次数。设置

d:=\max _{1\leq k\leq n}d_{k}

.

我们进一步形成理想 $K:=\langle f_{1},\ldots ,f_{n}\rangle$ 和 $L:=\langle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1}\rangle \cap I$ 的 $R[x]$ 并声称

I=K+L

.

实际上，显然 $K,L\subseteq I$ 因此 $K+L\subseteq I$ （参见模块部分）。另一个方向可以这样理解：如果 $g(x)\in I$ ， $\deg g=m$ ，那么我们可以设 $a\in R$ 为 $f$ 的首项系数，写成 $a=r_{1}j_{1}+\cdots +r_{n}j_{n}$ ，其中 $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ 然后减去 $h(x):=(r_{1}j_{1}f_{1}x^{m-d_{1}}+\cdots +r_{n}j_{n}f_{n}x^{m-d_{n}})$ ，得到

\deg(g-h)<m

只要 $m\geq d$ 。通过重复此过程，我们从 $g$ 中减去一个多项式 $h'$ ，得到一个在 $L$ 中的多项式，也就是说， $g\in K+L$ .

然而， $K$ 和 $L$ 都是有限生成的理想（ $\langle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1}\rangle$ 作为 $R$ -模是有限生成的，因此根据前一个定理， $L$ 也是 Noetherian 的，因为它是 Noetherian 模的子模)。由于有限生成理想的和显然是有限生成的，因此 $I$ 是有限生成的。 $\Box$

练习

令 $R$ 为 Noetherian 环，令 $M$ 为 $R$ -模。证明 $M$ 是 Noetherian 的当且仅当它是有限生成的。（提示：是否有任何满射环同态 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]\to M$ ，其中 $n$ 是 $M$ 的生成元个数？如果是，第一个同构定理对此有什么说明？)

Noetherian 空间