交换代数/对象和态射

基础

定义 1.1（范畴）:

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 是一个对象集合以及态射，它们从一个对象 $a\in {\mathcal {C}}$ 到另一个对象 $b\in {\mathcal {C}}$ （其中 $a$ 被称为定义域， $b$ 被称为陪域），使得

任何态射 $f:a\to b$ 可以与一个态射 $g:b\to c$ 复合，使得这两个态射的复合是一个态射 $g\circ f:a\to c$ 。
对于每个 $a\in {\mathcal {C}}$ ，存在一个态射 $1_{a}:a\to a$ ，使得对于任何态射 $f:a\to b$ 我们有 $f\circ 1_{a}=f$ ，并且对于任何态射 $g:b\to a$ 我们有 $1_{a}\circ g=g$ 。

例子 1.2:

所有群的集合以及群同态作为态射构成一个范畴。
所有环的集合以及环同态构成一个范畴。
集合以及普通函数构成集合范畴。

对于每个范畴，我们可以关联一个对偶范畴

定义 1.3（对偶范畴）:

令 ${\mathcal {C}}$ 是一个范畴。 ${\mathcal {C}}$ 的对偶范畴是由 ${\mathcal {C}}$ 的对象组成，但所有态射都被认为是反转的，这可以通过简单地将陪域定义为前一个态射的定义域，将定义域定义为前一个态射的陪域来完成。

例如，在集合的相反类别中，函数 $f:S\to T$ （其中 $S$ ， $T$ 是集合）是同态 $T\to S$ 。

范畴论中的代数对象

范畴是一个如此一般的对象，以至于一些重要的代数结构作为特殊情况出现。例如，考虑一个只有一个对象的范畴。那么这个范畴就是一个幺半群，其运算为合成。另一方面，如果给定一个任意的幺半群，我们可以定义该幺半群的元素为从单个对象到自身的态射，从而找到该幺半群作为只有一个对象的范畴的表示。

如果给定一个只有一个对象的范畴，并且所有态射恰好都是可逆的，那么实际上我们有一个群结构。并且进一步，正如对幺半群所描述的那样，我们可以将每个群转换为一个范畴。

特殊类型的态射

范畴中的以下概念可能是受集合范畴以及类似范畴中发生的事情的启发。

在集合范畴中，我们有满射函数和单射函数。我们可以如下表征它们

定理 1.4:

设 $X,Y$ 为集合， $f:X\to Y$ 为函数。那么

$f$ 是满射当且仅当对所有集合 $Z$ 和函数 $g,h:Y\to Z$ $g\circ f=h\circ f$ 蕴含 $g=h$ 。
$f$ 是单射当且仅当对所有集合 $W$ 和函数 $g,h:W\to X$ $f\circ g=f\circ h$ 蕴含 $g=h$ 。

证明:

我们从满射的表征开始。

$\Rightarrow$ : 令 $f$ 是满射，并令 $g\circ f=h\circ f$ 。令 $y\in Y$ 是任意的。由于 $f$ 是满射，我们可以选择 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$ 。然后我们有 $g(y)=g(f(x))=h(f(x))=h(y)$ 。由于 $y\in Y$ 是任意的， $g=h$ 。

$\Leftarrow$ : 假设对于所有集合 $Z$ 和函数 $g,h:Y\to Z$ ， $g\circ f=h\circ f$ 蕴含着 $g=h$ 。假设与之矛盾的是 $f$ 不是满射。那么，存在一个 $y_{0}\in Y$ 在 $f$ 的像之外。令 $Z=\{1,2\}$ 。我们定义 $g,h:Y\to Z$ 如下

g(y)=1\forall y\in Y

,

h(y)={\begin{cases}1&y\neq y_{0}\\2&y=y_{0}\end{cases}}

.

那么 $g\circ f=h\circ f=1$ （因为 $y_{0}$ 是第二个函数可能为 $2$ 的唯一地方，但它永远不会被 $f$ 命中），但 $g\neq h$ .

现在我们证明单射性的特征。

$\Rightarrow$ : 令 $f$ 为单射函数，令 $W$ 为另一个集合，令 $g,h:W\to X$ 为两个函数，使得 $f\circ g=f\circ h$ 。假设对于某个 $w\in W$ ， $g(w)\neq h(w)$ 。那么由于 $f$ 的单射性， $f(g(w))\neq f(h(w))$ ，矛盾。

$\Leftarrow$ : 假设对于所有集合 $W$ 和函数 $g,h:W\to X$ ， $f\circ g=f\circ h$ 意味着 $g=h$ 。令 $x,y\in X$ 为任意元素，使得 $f(x)=f(y)$ 。取 $W=\{1\}$ 和 $g(1)=x,h(1)=y$ 。那么 $x=y$ ，因此满射。 $\Box$

有趣的是，从单射到满射的转变，将间接证明的使用从 $\Leftarrow$ 方向转移到了 $\Rightarrow$ 方向。

由于在由上一个定理给出的单射和满射的特征中，不再提及任何集合的元素，我们可以将这些概念推广到范畴论。

定义 1.5:

令 ${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，令 $f$ 为 ${\mathcal {C}}$ 的一个态射。我们说

$f:X\to Y$ 是一个满同态当且仅当对所有 $Z$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的任何对象，以及对所有态射 $g,h:Y\to Z$ ， $g\circ f=h\circ f\Rightarrow g=h$ ，并且
$f:X\to Y$ 是一个单同态当且仅当对所有 $W$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的任何对象，以及对所有态射 $g,h:W\to X$ ， $f\circ g=f\circ h\Rightarrow g=h$ .

练习

练习 1.3.1: 构造一个范畴 ${\mathcal {C}}$ ，其中对象是有限个集合，并且存在一个非满射的满同态，以及一个非单射的单同态 (提示: 包含少量态射).

终对象、始对象、零对象和零态射

在许多范畴中，例如群、环、模... (但不是域)，存在一些“平凡”对象，它们是最简单的对象; 例如，在群范畴中，存在平凡群，它只包含单位元。实际上，在群范畴中，平凡群具有以下性质

定理 1.6:

令 $|G|=1$ 并且令 $H$ 为另一个群。那么存在恰好一个同态 $f:H\to G$ 和恰好一个同态 $g:G\to H$ .

此外，如果 ${\tilde {G}}$ 是任何其他具有以下性质的群：对于任何其他群 $H$ ，都存在唯一一个同态 ${\tilde {G}}\to H$ 以及唯一一个同态 $H\to {\tilde {G}}$ ，则 $|{\tilde {G}}|=1$ .

证明：我们从第一部分开始。令 $f:H\to G$ 是一个同态，其中 $|G|=1$ 。那么 $f$ 必须处处取 $G$ 中唯一元素的值，因此唯一确定。如果此外 $g:G\to H$ 是一个同态，根据同态性质，我们必须有 $g(\iota )=1_{H}$ （否则通过取 $\iota$ 的幂获得矛盾）。

现在假设 $|{\tilde {G}}|>1$ ，并令 $\tau$ 是 ${\tilde {G}}$ 中不等于单位元的元素。令 $n:={\text{ord}}\tau$ 。我们定义一个同态 $f:Z_{n}\to {\tilde {G}}$ 由 $f(k):=\tau ^{k}$ 定义。除了那个同态，我们还有平凡同态 $Z_{n}\to {\tilde {G}}$ 。因此，我们没有唯一性。 $\Box$

利用定理 1.6 给出的特征，我们可以将这个概念推广到范畴论语言。

定义 1.7:

设 ${\mathcal {C}}$ 为一个范畴。 ${\mathcal {C}}$ 的零对象是指一个对象 $Z$ ，使得对于 ${\mathcal {C}}$ 中的所有其他对象 $X,Y$ ，都存在唯一的态射 $f:X\to Z$ 和 $g:Z\to Y$ 。

在许多常见的范畴中，例如群（如上所示），还有环和模，都存在零对象。然而，集合范畴中并不存在。事实上，设 $S$ 为任意集合。如果 $|S|\geq 2$ ，那么从任何非空集合到 $S$ 的态射至少存在两个，即两个常函数。如果 $|S|=1$ ，我们可以选择一个集合 $T$ ，使得 $|t|>2$ ，并获得两个从 $S$ 映射到 $T$ 的态射。如果 $S=\emptyset$ ，那么就不存在函数 $T\to S$ 。

但是，如果我们把定义 1.6 分成两半，那么每一半都可以在集合范畴中找到。

定义 1.8:

令 ${\mathcal {C}}$ 为一个范畴。一个对象 $X$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中被称为

终对象，当且仅当对于 ${\mathcal {C}}$ 中的任何其他对象 $Y$ ，存在恰好一个态射 $Y\to X$ ；
初对象，当且仅当对于 ${\mathcal {C}}$ 中的任何其他对象 $Y$ ，存在恰好一个态射 $X\to Y$ 。

在集合范畴中，存在一个初对象和数百万（确切地说，是无限多个）终对象。初对象是空集；上面定义 1.7 中的论证表明这是唯一剩下的选择，它是一个有效的选择，因为从空集到任何其他集合的态射都是空函数。此外，每个恰好包含一个元素的集合都是一个终对象，因为映射到该集合的每个态射都是以该集合的单个元素为值的常数函数。因此，通过将零对象的概念向两个不同的方向进行推广，我们获得了对集合级别对称破缺的细致描述。

现在回到群的范畴，在任意两个群之间也存在一个特别平凡的同态，即零同态。我们也将提升这个概念到范畴的级别。以下定理是直接的

定理 1.9:

令 $T$ 为平凡群，令 $H$ 和 $G$ 为任意两个群。如果 $f:H\to T$ 和 $g:T\to G$ 是同态，则 $g\circ f$ 是平凡同态。

现在我们可以继续对零态射的范畴定义。它只针对具有零对象的范畴定义。（存在更一般的定义，但在本书中我们不会使用它。）

定义 1.10:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有零对象的范畴 $Z$ ，并且设 $X,Y$ 是该范畴中的对象。那么，从 $X$ 到 $Y$ 的**零态射**定义为两个唯一态射 $X\to Z$ 和 $Z\to Y$ 的复合。