交换代数/初等分解或拉斯克-诺特理论

以下理论最初由世界象棋冠军埃曼努埃尔·拉斯克在他的1905年论文“Zur theorie der Moduln und Ideale”（“论模与理想的理论”）中关于多项式环提出的，后来被埃米·诺特在其具有革命意义的1921年论文“Idealtheorie in Ringbereichen”中推广到满足升链条件（诺特环）的交换环。

初等理想

定义 19.4:

一个理想$q\leq R$被称为初等理想当且仅当以下成立

$xy\in q\Rightarrow x\in q\vee \exists n\in \mathbb {N} :y^{n}\in q$.

显然，每个素理想都是初等的。

我们有以下特征

定理 19.5（初等理想的特征）:

令$q\leq R$，其中$r(q)$表示$q$的根理想。以下是等价的

1. $q$是初等的。
2. 如果$xy\in q$，那么要么$x\in q$或$y\in q$或$x\in r(q)\wedge y\in r(q)$.
3. $R/q$的每个零因子都是幂零的。

证明 1:

1. $\Rightarrow$ 2.: 令 $q$ 为素数。假设 $xy\in q$，并且 $x\in q$ 和 $y\in q$ 都不成立。由于 $x\notin q$，$y^{k}\in q$ 对于合适的 $k\geq 2$ 成立。由于 $yx\in q$ 且 $y\notin q$，$x^{m}\in q$ 对于合适的 $m\geq 2$ 成立。

2. $\Rightarrow$ 3.: 令 $d+q$ 为 $R/q$ 的零因子，即，$cd\in q$ 对于某个 $c\in R$ 成立，使得 $c\notin q$。因此 $d\in r(q)$，即 $d^{k}\in q$ 对于合适的 $k$ 成立。

3. $\Rightarrow$ 1.: 令 $xy\in q$。那么要么 $x\in q$，要么 $y\in q$，要么 $x+q$ 是 $R/q$ 中的零因子，这就是 $x^{k}+q=0$ 对于适当的 $k$ 的原因。$\Box$

证明 2:

1. $\Rightarrow$ 3.: 令 $q$ 为素理想，并令 $x+q$ 为 $R/q$ 中的零因子。那么 $xy\in q$ 对于某个 $y\notin q$，因此 $x^{k}\in q$ 对于适当的 $k$。

3. $\Rightarrow$ 2.: 令 $xy\in q$。 假设 $x\in q$ 和 $y\in q$ 都不成立。 那么， $x+q$ 和 $y+q$ 都是 $R/q$ 中的零因子，因此是幂零元，这就是为什么 $x^{k},y^{m}\in q$ 对于适当的 $k,m$ 成立，因此 $x,y\in r(q)$。

2. $\Rightarrow$ 1.: 令 $xy\in q$。 假设 $x\in q$ 和 $y\in q$ 都不成立。 那么，特别地， $y\in r(q)$，也就是说， $y^{k}\in q$ 对于适当的 $k$。 $\Box$

定理 19.6:

如果 $q\leq R$ 是任何素理想，那么 $r(q)$ 是素理想。

证明:

令 $xy\in r(q)$。 那么对于合适的 $n\in \mathbb {N}$，有 $(xy)^{n}\in q$。因此，要么 $x^{n}\in q$ 且因此 $x\in r(q)$，要么对于合适的 $m\in \mathbb {N}$ 有 $(y^{n})^{m}\in q$，因此 $y\in r(q)$。$\Box$

存在性

在诺特环中的存在性

根据扎里斯基、塞缪尔和科恩的阐述，我们从两个引理和一个定义推导出经典的诺特环存在性定理。

定义 19.7:

理想 $I\leq R$ 称为不可约 当且仅当它不能写成有限多个真超理想的交集。

引理 19.8:

在诺特环中，每个不可约理想都是初等的。

证明:

假设存在一个不可约理想 $I$ 不是初等的。由于 $I$ 不是初等的，存在 $x,y\in R$ 使得 $xy\in I$，但既没有 $x\in I$ 也没有 $y^{n}\in I$ 对于任何 $n\in \mathbb {N}$。我们形成一个升链的理想

$(I:y)\subseteq (I:y^{2})\subseteq (I:y^{3})\subseteq \cdots$;

这个链是上升的，因为$ry^{n}\in I\Rightarrow ry^{n+1}\in I$. 由于我们是在一个诺特环中，这个链最终会在某个$m\in \mathbb {N}$处稳定下来；也就是说，对于$k\geq m$，我们有$(I:y^{k})=(I:y^{k+1})$。我们现在断言

$I=(I+\langle x\rangle )\cap (I+y^{n}R)$.

事实上，$\subseteq$ 是显然的，对于$\supseteq$ 我们注意到，如果$r\in (I+\langle x\rangle )\cap (I+y^{n}R)$，那么

$r=i+sx=j+y^{n}t$

对于合适的$i,j\in I$ 和$s,t\in R$，这就是为什么$sx-y^{n}t\in I$，因此$sxy-y^{n+1}t\in I$，因为$xy\in I$，因此$y^{n+1}t\in I$，$t\in (I:y^{n+1})=(I:y^{n})$，因此$y^{n}t\in I$ 和$sx\in I$。因此$r\in I$。

此外，通过选择 $x$ 和 $y$，两者 $I+\langle x\rangle$ 和 $I+y^{n}R$ 都是真超理想，这与 $I$ 的不可约性相矛盾。$\Box$

引理 19.9:

在诺特环中，每个理想都可以写成有限个不可约理想的交集。

证明:

假设并非如此。考虑所有不能写成有限个不可约理想交集的理想的集合。如果我们给定该集合内的升链

$I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq \cdots$,

这个链具有上界，因为它是稳定，因为我们是在诺特环中。因此，我们可以选择一个极大元素 $I$ 在所有不能写成有限个不可约理想交集的理想中。 $I$ 本身因此不可约。因此，它可以写成严格超理想的交集；也就是说

$I=J_{1}\cap \cdots \cap J_{n}$

对于适当的 $J_{i}\supsetneq I$。由于 $I$ 是极大的，每个 $J_{i}$ 是有限个不可约理想的交集，因此 $I$ 也是，这与我们对 $I$ 的选择相矛盾。$\Box$

推论 19.10:

在诺特环中，每个理想都可以写成有限个初等理想的交集。

证明:

结合引理 19.8 和 19.9。$\Box$

最小分解

定义 19.11:

令 $I\leq R$ 是环中的理想，并且令

$I=\bigcap _{s=1}^{r}q_{s}$

是 $I$ 的初等分解。当且仅当

1. 不存在$t\in \{1,\ldots ,r\}$ 使得$q_{t}\supseteq \bigcap _{s=1 \atop s\neq t}^{r}q_{s}$，并且
2. 对于所有$i\neq j$，$r(q_{i})\neq r(q_{j})$（也就是说，素理想的根是成对不同的）。

事实上，一旦我们得到一个给定理想的初等分解，我们就能找到该理想的最小初等分解。但在我们证明这一点之前，我们需要先了解关于根的一个一般事实。

引理 19.12:

令$I_{1},\ldots ,I_{n}$ 是理想。那么

$r\left(\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\right)=\bigcap _{j=1}^{n}r(I_{j})$.

这个引理可以表述为“根与有限交集可以互换”。

证明:

$\Rightarrow$:

${\begin{aligned}s\in r\left(\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\right)&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :s^{k}\in \bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\\&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :\forall j\in \{1,\ldots ,n\}:s^{k}\in I_{j}\\&\Rightarrow \forall j\in \{1,\ldots ,n\}:\exists k\in \mathbb {N} :s^{k}\in I_{j}\\&\Leftrightarrow s\in \bigcap _{j=1}^{n}r(I_{j}).\end{aligned}}$

$\Leftarrow$：令$s\in \bigcap _{j=1}^{n}r(I_{j})$。对于每个$j$，选择$k_{j}$ 使得$s^{k_{j}}\in I_{j}$。令

$k:=\max\{k_{1},\ldots ,k_{n}\}$.

那么 $s^{k}\in \bigcap _{j=1}^{n}I_{j}$，因此 $s\in r\left(\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}\right)$。$\Box$

请注意，对于无限交集，引理不一定（！！！）成立。

定理 19.13:

令 $I\leq R$ 为具有初等分解的环中的理想。 那么 $I$ 也具有极小的初等分解。

证明 1:

首先，我们可以排除所有对于

$q_{t}\supseteq \bigcap _{s=1 \atop s\neq t}^{r}q_{s}$;

的初等理想 $q_{t}$，因为一般来说，与超集的交集不会改变。

然后假设我们得到一个分解

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$,

并对于一个固定的素理想 $p$ 设置

$q_{p}:=\bigcap _{r(q_{j})=p}q_{j}$;

根据定理 19.6，

$I=\bigcap _{p\leq R{\text{ prime}}}q_{p}$.

我们断言 $q_{p}$ 是初等的，并且 $r(q_{p})=p$。对于第一个断言，请注意，根据先前的引理，

$r\left(\bigcap _{r(q_{j})=p}q_{j}\right)=\bigcap _{r(q_{j})=p}r(q_{j})=p$.

对于第二个断言，设 $xy\in q_{p}$。如果 $x\in q_{p}$，则无需证明。否则设 $x\notin q_{p}$。则存在 $q_{l}$ 使得 $x\notin q_{l}$，因此 $y^{k}\in q_{l}$ 对于某个合适的 $k$。因此 $y\in p$，因此 $y^{k_{j}}\in q_{j}$ 对于所有 $j$ 和合适的 $k_{j}$。选择

$m:=\max\{k_{j}|r(q_{j})=p\}$.

那么 $y^{m}\in q_{p}$。因此，$q_{p}$ 是初等的。 $\Box$

唯一性性质

一般而言，初等分解并不具有唯一性，但仍然，同一环中同一理想的任意两个初等分解在某种程度上是相似的。经典的第一和第二唯一性定理揭示了这些相似性的一部分。

定理 19.14（第一唯一性定理）:

令 $I\leq R$ 是环 $r$ 中的一个理想，并假设我们给出了一个最小初等分解。

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

那么素理想（定理 19.6） $p_{j}:=r(q_{j})$ 正好是理想 $r((I:x)),x\in R$ 中的素理想，因此与特定分解的选择无关。也就是说，理想 $p_{j}$ 由 $I$ 唯一确定。

证明:

我们首先推导出一个方程。根据定理 19.2 和引理 19.12，

$r((I:x))=r\left(\left(\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}:x\right)\right)=r\left(\bigcap _{j=1}^{n}(q_{j}:x)\right)=\bigcap _{j=1}^{n}r((q_{j}:x))$.

现在我们固定 $q_{j}$ 并区分几种情况。

1. 如果 $x\in q_{j}$，则显然 $(q_{j}:x)=R$。
2. 如果 $x\notin p_{j}$（其中再次有 $p_{j}=r(q_{j})$），那么如果 $sx\in q_{j}$，我们必须有 $s\in q_{j}$，因为 $x$ 的任何幂都不包含在 $q_{j}$ 中。
3. 如果 $x\in p_{j}$，但 $x\notin q_{j}$，我们有 $r((q_{i}:x))=p_{i}$，因为
   ${\begin{aligned}r\in r((q_{i}:x))&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :r^{k}x\in q_{i}\\&\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :\exists m\in \mathbb {N} :(r^{k})^{m}\in q_{i}\\&\Leftrightarrow r\in p_{i}.\end{aligned}}$

总之，我们发现

$r((I:x))=\bigcap _{j=1 \atop x\notin q_{j}}^{n}p_{j}$.

首先假设 $r((I:x))$ 是素数。然后素数回避引理意味着 $r((I:x))$ 包含在 $p_{j}$ 中的其中一个，$x\notin q_{j}$，并且因为 $p_{j}=r((q_{j},x))\subseteq r((I:x))$，$r((I:x))=p_{j}$。

现在令 $p_{j}$ 对于 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 为已知。由于给定的初等分解是最小的，我们发现 $x\in R$ 使得 $x\notin p_{j}$，但 $x\in \bigcap _{l=1 \atop l\neq j}^{n}p_{l}$。在这种情况下，根据上面的等式， $r((I:x))=p_{j}$。$\Box$

这个定理推动了以下定义，并使其成为可能

定义 19.15:

令 $I$ 是任何具有最小初等分解的理想

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

则理想 $p_{j}:=r(q_{j})$ 被称为属于 $I$ 的 素理想。

我们现在证明两个引理，每个引理都将在下面产生第二唯一性定理的证明（见下文）。

引理 19.16:

令 $I\leq R$ 是一个具有初等分解的理想

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$,

并且再次令 $p_{j}:=r(q_{j})$ 对于所有 $j$。如果我们定义

$q_{j}':=\{x\in R|(I:x)\not \subseteq p_{j}\}$,

那么 $q_{j}'$ 是 $R$ 的一个理想，且 $q_{j}'\subseteq q_{j}$。

证明:

令 $a,b\in q_{j}'$。存在 $c\notin p_{j}$ 使得 $c\langle a\rangle \subseteq I$ 且 $c\notin p_{j}$，类似地存在一个关于 $b$ 具有类似性质的 $d$。因此 $cd\langle a-b\rangle \subseteq I$，但 $cd\notin p_{j}$，因为 $p_{j}$ 是素数。同时，$cd\langle ab\rangle \subseteq I$。因此，我们得到了一个理想。

令 $x\in q_{j}'$。存在 $c\notin p_{j}$ 使得

$c\langle x\rangle \subseteq I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

特别地，$cx\in q_{i}$。由于 $c$ 的任何幂都不在 $q_{i}$ 中，所以 $x\in q_{i}$。$\Box$

引理 19.17:

设$S\subseteq R$ 是乘法封闭的，设

$\pi _{S}:R\to S^{-1}R,r\mapsto r/1$

是标准态射。设$I$ 是一个可分解理想，也就是说

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$

对于素理想$q_{j}$，并对$q_{j}$ 进行编号，使得前$r$ 个$q_{j}$ 与$S$ 的交集为空，而其余的则有非空交集。那么

$\pi _{S}^{-1}\circ \pi _{S}(I)=\bigcap _{j=1}^{r}q_{r}$.

证明:

我们有

$\pi _{S}(I)=\pi _{S}\left(\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}\right)=\bigcap _{j=1}^{n}\pi _{S}(q_{j})$

根据定理 9.？。如果现在$S\cap q_{j}\neq \emptyset$，引理 9.？ 产生$\pi _{S}(q_{j})=S^{-1}R$。因此，

$\pi _{S}(I)=\bigcap _{j=1}^{n}\pi _{S}(q_{j})=\bigcap _{j=1}^{r}\pi _{S}(q_{j})$.

对两边应用$\pi _{S}^{-1}$，得到

$\pi _{S}^{-1}\circ \pi _{S}(I)=\bigcap _{j=1}^{r}\pi _{S}^{-1}\pi _{S}(q_{j})$,

以及

$\pi _{S}^{-1}\pi _{S}(q_{j})=q_{j}$

因为 $\supseteq$ 对一般映射成立，且 $x\in \pi _{S}^{-1}\pi _{S}(q_{j})$ 表示 $\pi _{S}(x)=r/s$，其中 $r\in q_{j}$ 且 $s\in S$；因此 $\pi _{S}(sx)=r/1$，也就是说 $(sx)/1=r/1$。这意味着

$\exists t\in S:tsx=tr$.

因此 $tsx\in q_{j}$，并且由于 $ts$ 的任何幂都不在 $q_{j}$ 中 ($S$ 在乘法下封闭，且 $S\cap q_{j}=\emptyset$)，$x\in q_{j}$.$\Box$

定义 19.18:

令 $I$ 为一个可进行初等分解的理想，并令 $P\subseteq \operatorname {Spec} R$ 为 $R$ 的一组素理想，它们都属于 $I$。 当且仅当对于每个素理想 $p\in P$，如果 $p'$ 是一个属于 $I$ 的素理想，且 $p'\subseteq p$，那么 $p'\in P$ 也是。

定理 19.19（唯一性定理二）:

令 $I$ 为一个具有最小初等分解的理想。 如果 $P=\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$ 是属于 $I$ 的素理想集合的子集，且是孤立的，那么

$\bigcap _{l=1}^{k}q_{i_{l}}$

与产生 $q_{i_{l}}$ 的特定最小初等分解无关。

请注意，应用于仅包含一个素理想的缩减集，这意味着如果素理想 $p_{i}$ 的所有素子理想都属于 $I$，那么相应的 $q_{i}$ 是预先确定的。

证明 1（使用引理 19.16）:

我们首先将定理简化为 $P$ 是属于 $I$ 的素理想的所有素子理想的集合的情况。令 $P$ 为任何缩减系统。对于该集合中的每个最大元素 $p_{r}$（关于包含关系），定义 $P_{r}$ 为 $P$ 中包含在 $p_{r}$ 中的所有理想的集合。由于 $P$ 是有限的，

$P=\bigcup _{p_{r}{\text{ maximal in }}P}P_{r}$;

这不需要是一个不相交的并集（请注意，这些不是最大理想！）。因此

$\bigcap _{l=1}^{k}q_{i_{l}}=\bigcap _{p_{r}{\text{ maximal in }}P}\bigcap _{p_{j}\in P_{r}}q_{j}$.

因此，令 $p$ 为属于 $I$ 的理想，令 $P=\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$ 为 $p$ 的子理想的孤立系统。令 $p_{j_{1}},\ldots ,p_{j_{m}}$ 为所有属于 $I$ 且不在 $P$ 中的所有主要理想。对于这些理想，我们有 $p_{j_{l}}\not \subseteq p$，因此我们发现 $b_{j_{l}}\in p_{j_{l}}\setminus p$。对于每个 $l$ 取足够大的 $s(l)\in \mathbb {N}$，使得 $b_{j_{l}}^{s(l)}\in q_{j_{l}}$。那么

$b:=\prod _{l=1}^{m}b_{j_{l}}^{s(l)}\in \bigcap _{l=1}^{m}q_{j_{l}}$,

这就是为什么 $b\bigcap _{p_{t}\in P}q_{t}\subseteq I$。由此得出

$\bigcap _{p_{t}\in P}q_{t}\subseteq q'$,

其中 $q$ 是 $I$ 的初等分解中与 $p$ 相关联的元素，因为显然对于左侧的每个元素 $x$，$bx\in I$，因此 $b\langle x\rangle \subseteq I$，但同时 $b\notin p$。另一方面，$p_{t}\subseteq p$ 意味着 $q\subseteq q_{t}$。因此，对于任何这样的 $t$，引理 19.16 意味着

$q'\subseteq q\subseteq q_{t}$,

这反过来意味着

$\bigcap _{p_{t}\in P}q_{t}\supseteq q'$.$\Box$

证明 2（使用引理 19.17）:

令 $\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$ 是属于 $I$ 的孤立素理想系统。选取

$S:=R\setminus (p_{i_{1}}\cup \ldots \cup p_{i_{k}})=(R\setminus p_{i_{1}})\cap \cdots \cap (R\setminus p_{i_{k}})$,

由于它是乘法封闭子集的交集，因此它是乘法封闭的。$I$分解成对应的$p_{i_{l}}$的素理想就是那些与$S$没有交集的素理想，因为在$I$分解中任何其他素理想$q_{j}$都必须包含一个元素，该元素位于所有$\{p_{i_{1}},\ldots ,p_{i_{k}}\}$之外，否则它的根将是其中之一（根据孤立性）。因此，引理 19.17 给出了

$\bigcap _{l=1}^{k}q_{i_{l}}=\pi _{S}^{-1}\circ \pi _{S}(I)$

并且我们拥有特定分解的独立性。 $\Box$

属于理想的素理想的特征

以下是有关于素理想分解的有用定理。

首先，我们给出关于一般素理想的一个命题。

命题 19.20:

设$R$是一个（交换）环，设$p\leq R$是一个素理想。如果$p$包含

某些任意理想的交集$\bigcap _{j=1}^{n}I_{j}$或乘积$I_{1}\cdot I_{2}\cdots I_{n}$

那么它就完全包含了$I_{j}$中的一个。

证明:

由于乘积包含在交集中，因此只需在$I_{1}\cdots I_{n}\subseteq p$的假设下证明该定理。

实际上，假设所有$I_{1},\ldots ,I_{n}$ 均不包含在 $p$ 中。选择 $r_{j}\in I_{j}\setminus p$，其中 $j=1,\ldots ,n$。由于 $p$ 是素数，则 $r_{1}\cdots r_{n}\notin p$。但它在乘积中，矛盾。$\Box$

此命题对推论 19.22 中给出的初等分解具有深远的影响。但首先，我们需要一个引理。

引理 19.21:

令 $q\leq R$ 为一个初等理想，并假设 $p\leq R$ 是一个素数，使得 $q\subseteq p$。则 $r(q)\subseteq p$。

证明:

如果 $x^{n}\in q$，则 $x\in p$。$\Box$

推论 19.22:

令 $I$ 为一个允许初等分解的理想

$I=\bigcap _{j=1}^{n}q_{j}$.

如果 $p\leq R$ 是任何包含 $I$ 的素数理想，则它也包含属于 $I$ 的素数理想。此外，属于 $I$ 的素数理想正是那些在 $V(I)\subseteq \operatorname {Spec} (R)$ 上由包含诱导的部分序关系下的最小元。

证明:

第一个断言来自命题 19.20 和引理 19.21。第二个断言成立，因为任何属于 $I$ 的素理想都包含 $I$。$\Box$