交换代数/根式，强 Nakayama

理想的根式

定义 13.1:

令 $R$ 为一个环， $I\leq R$ 为一个理想。 $I$ 的 **根式**，记为 $r(I)$ ，是

r(I):=\{r\in R|\exists n\in \mathbb {N} :r^{n}\in I\}

.

一个 **根式理想** 是一个理想 $I$ ，使得 $r(I)=I$ .

定理 13.2:

令 $R$ 为一个环， $I\leq R$ 为一个理想。则

r(I)=\bigcap _{p{\text{ prime}} \atop I\subseteq p}p

.

证明:

对于 $\subseteq$ ，请注意 $s^{n}\in I\subseteq p\Rightarrow s\in p$ 。对于 $\supseteq$ ，假设对于任何 $n$ ， $s^{n}\in r(I)$ 都不成立。构造商环 $R/I$ 。根据定理 12.3，选择一个素理想 $q\leq R/I$ ，它与乘法封闭集 $\{s^{n}+I|n\in \mathbb {N} _{0}\}$ 无交集。构造理想 $q:=\pi ^{-1}(p)$ 。 $p$ 是一个素理想，它包含 $I$ 并且与 $\{s^{n}|n\in \mathbb {N} _{0}\}$ 无交集。因此 $s$ 不在右侧。 $\Box$

推论 13.3:

理想的根是理想。 $\Box$

证明:

理想的交集是理想。 $\Box$

定义 13.4:

设 $R$ 为一个环， $I\leq R$ 。 $I$ 的 **Jacobson 根** 定义如下

j(I):=\bigcap _{m{\text{ maximal}} \atop I\subseteq m}m

.

定理 13.5:

令 $R$ 为环， $I\leq R$ 。 $j(I)$ 是一个根理想。

证明:

显然， $j(I)\subseteq r(j(I))$ 。此外，根据定理 13.2， $r(j(I))\subseteq j(j(I))=j(I)$ ，最后一个等式由 $I\subseteq m\Rightarrow j(I)\subseteq m$ 推出。 $\Box$

零理想的根

定义 13.6:

令 $R$ 为环。 $\{0\}$ 是一个理想。 $R$ 的**零根**，记为 ${\mathcal {N}}$ ，定义为

{\mathcal {N}}:=r(\{0\})

.

注意，根据定义

{\mathcal {N}}=\{r\in R|r^{n}=0\}

,

是所有**幂零元素**的集合。

定理 13.7:

{\mathcal {N}}=\bigcap _{p\leq R \atop p{\text{ prime}}}p

.

证明:

定理 13.2。 $\Box$

定义 13.8:

令 $R$ 为环。 $\{0\}$ 是一个理想。 $R$ 的**雅可比根**，记为 ${\mathcal {J}}$ ，定义为

{\mathcal {J}}:=\bigcap _{m\leq R \atop m{\text{ maximal}}}m

.

我们有 ${\mathcal {J}}=j(\{0\})$ .

如果 $R$ 是一个环， $R^{\times }$ 是 $R$ 的所有单位元素的集合。

定理 13.9:

令 $R$ 为一个环， ${\mathcal {J}}$ 为其 Jacobson 根。则

r\in {\mathcal {J}}\Leftrightarrow \forall s\in R:1-rs\in R^{\times }

.

证明:

$\Rightarrow$ : 令 $r\in {\mathcal {J}}$ ， $s\in R$ 。假设 $1-rs\notin R^{\times }$ 。构造理想 $\langle 1-rs\rangle$ ; 根据定理 12.8，存在 $m\leq R$ 使得 $\langle 1-rs\rangle \subseteq m$ 且 m 为极大理想，因此 $1-rs\in m$ 。如果 $r\in {\mathcal {J}}\Rightarrow r\in m$ ，则 $1\in m$ ，矛盾。

$\Leftarrow$ : 假设对于所有 $s$ 和 $r\notin {\mathcal {J}}$ ，有 $1-rs\in R^{\times }$ 。那么存在一个不包含 $r$ 的极大理想 $m$ 。因此， $m+\langle r\rangle =R$ ，并且 $1=t+rs$ ，其中 $t\in m$ 且 $s\in R$ 。因此， $t=1-rs$ 不是单位。 $\Box$

根式和局部化

定义 13.10:

如果 $R$ 是一个环， $S\subseteq R$ 是一个乘法子集， $I\leq R$ 是一个理想，设定

S^{-1}I:=\{i/s|i\in I,s\in S\}\subseteq S^{-1}R

,

关于 $S$ 的理想 $I$ 的局部化。

定理 13.11:

令 $R$ 为一个环， $I\leq R$ 为一个理想， $S\subseteq R$ 为一个乘法封闭子集。那么

r(S^{-1}I)=S^{-1}r(I)

.

证明:

令 $r/s\in r(S^{-1}I)$ ，即 $r^{n}/s^{n}\in S^{-1}(I)$ 。则 $r^{n}/t^{n}=i/s$ ， $i\in I$ ， $s\in S$ 。存在 $u\in S$ 使得 $u(r^{n}s-t^{n}i)=0$ 。因此 $usr^{n}\in I$ ，进而 $(usr)^{n}\in I$ 且 $usr\in r(I)$ 。因此， $r/s=usr{\big /}us^{2}\in S^{-1}r(I)$ .