定义 10.1 ( R {\displaystyle R} -mod):
对于每个环 R {\displaystyle R} ，存在一个模范畴，即 R {\displaystyle R} 上的模，以模同态为态射。这个范畴被称为 ** R {\displaystyle R} -mod**。
我们现在旨在证明，如果 R {\displaystyle R} 是一个环，则 R {\displaystyle R} -mod 是一个阿贝尔范畴。我们通过验证模具有作为阿贝尔范畴所需的所有性质来做到这一点。
定理 10.1:
模范畴具有核。
证明:
对于 R {\displaystyle R} -模 M , N {\displaystyle M,N} 和态射 f : M → N {\displaystyle f:M\to N} ，我们定义
定理 10.?:
令 R {\displaystyle R} 为一个环，令 S ⊆ M {\displaystyle S\subseteq M} 为乘法封闭的。令 M , N , K {\displaystyle M,N,K} 为 R {\displaystyle R} -模。那么
- 范畴论注释
是一个环，则 -mod 是一个阿贝尔范畴。我们通过验证模具有作为阿贝尔范畴所需的所有性质来做到这一点。-模 
和态射 
，我们定义
.
精确蕴涵 
精确。