交换代数/Zariski 拓扑下的谱

定义 16.1:

设 $R$ 为交换环。 $R$ 的谱为集合

\operatorname {Spec} (R):=\left\{p\leq R|p{\text{ prime}}\right\}

;

即 $R$ 的所有素理想的集合。

在 $\operatorname {Spec} R$ 上，我们将定义一个拓扑，将 $\operatorname {Spec} R$ 变成拓扑空间。这个拓扑被称为Zariski 拓扑，尽管只有亚历山大·格罗滕迪克给出了上述一般性的定义。

闭集

定义 16.2:

设 $R$ 为环，设 $S\subseteq R$ 为 $R$ 的子集。然后定义

V(S):=\left\{p\in \operatorname {Spec} R|S\subseteq p\right\}

.

集合 $V(S)$ ，其中 $S$ 在 $R$ 的子集上取值，满足以下等式

命题 16.3:

设 $R$ 为环，设 $(S_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $R$ 的子集族。

$V(\emptyset )=\operatorname {Spec} R$ 以及 $V(R)=\emptyset$
$\bigcap _{\alpha \in A}V(S_{\alpha })=V\left(\bigcup _{\alpha \in A}S_{\alpha }\right)$
如果 $A=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ 是有限的，那么 $V(S_{\alpha _{1}})\cup \cdots \cup V(S_{\alpha _{n}})=V(S_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap S_{\alpha _{n}})$ .