交换代数/凯莱-哈密顿定理和中山引理

交换环中的行列式

我们现在将推导出交换环中行列式的概念。

定义 7.1 (行列式):

令 $R$ 为交换环，令 $n\in \mathbb {N}$。行列式 是一个函数 $\det :R^{n\times n}\to R$ 满足以下三个公理：

1. $\det I_{n}=1$，其中 $I_{n}$ 是 $n\times n$ 单位矩阵。
2. 如果 $A$ 是一个矩阵，使得两列相邻，则 $\det A=0$。
3. 对于每个 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 我们有 $\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})+c\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，其中 $\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n},\mathbf {b} _{j}$ 是列，$c\in R$。

我们将在后面看到，只有一个行列式存在。

定理 7.2（行列式性质）:

1. 如果 $A\in R^{n\times n}$ 的一列全是零，那么 $\det A=0$。
2. 如果 $A$ 是一个矩阵，并且在一列中添加相邻列的倍数，那么 $\det A$ 不会改变。
3. 如果 $A$ 的两列相邻且交换位置，那么 $\det A$ 将乘以 $-1$。
4. 如果矩阵 $A$ 的任意两列交换位置，那么 $\det A$ 将乘以 $-1$。
5. 如果 $A$ 是一个矩阵，并且在一列中添加另一列的倍数，那么 $\det A$ 不会改变。
6. 如果 $A$ 是一个矩阵，并且有两列相等，那么 $\det A=0$。
7. 令 $\sigma \in S_{n}$ 是一个排列，其中 $S_{n}$ 是 $n$ 阶 对称群。如果 $A=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，那么 $\det(\mathbf {a} _{\sigma (1)},\ldots ,\mathbf {a} _{\sigma (n)})=\operatorname {sgn} \sigma \det A$。

证明:

1. 令 $A=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，其中第 $j$ 列 $\mathbf {a} _{j}$ 为零向量。然后，根据行列式公理 3，令 $c=-1$，

$\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}-\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})-\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=0$.

或者，我们也可以令 $c=1$ 且 $\mathbf {b} _{j}=\mathbf {a} _{j}=\mathbf {0}$，得到

$\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=(1+c)\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$,

从该公式中，通过从两边减去 $\det A$，可以得出定理。

这些证明对应于线性映射 $T$（在任何上下文中）的 $T0=0$ 的证明。

2. 如果我们设置 $\mathbf {b} _{j}=\mathbf {a} _{j+1}$ 或 $\mathbf {b} _{j}=\mathbf {a} _{j-1}$（取决于我们是将列添加到当前列的左侧还是右侧），那么公理 3 给出了

$\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})+c\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {b} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$,

其中后一个行列式为零，因为我们有两个相邻的相等列。

3. 考虑两个矩阵 $A:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$ 和 $B:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j+1},\mathbf {a} _{j},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$。根据 7.2、2 和行列式的公理 3，我们有

${\begin{aligned}\det B&=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j+1}+\mathbf {a} _{j},\mathbf {a} _{j},\ldots ,\mathbf {a} _{n})\\&=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j+1}+\mathbf {a} _{j},-\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})\\&=\det(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j},-\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})\\&=-\det A\end{aligned}}$.

4. 我们交换第 $j$ 列和第 $k$ 列，首先将第 $j$ 列依次移动到第 $k$ 列的位置（使用 $|j-k|$ 次交换），并将当前位于第 $k$ 列的位置（距离第 $j$ 列的位置更近一步）移动到第 $j$ 列的位置（使用 $|j-k|-1$ 次交换）。总共我们使用了奇数次交换，而所有其他列都保持在相同的位置，因为它们向右移动了一次，向左移动了一次。因此，第 4 条结论来自将第 3 条结论应用于每次交换。

5. 假设我们要将 $c\cdot \mathbf {a} _{k}$ 加到第 $j$ 列。然后，我们首先使用第 4 条结论将第 $j$ 列移到与 $\mathbf {a} _{k}$ 相邻的位置，然后使用第 2 条结论进行加法，而不会改变行列式，最后再次使用第 4 条结论将第 $j$ 列移回到其原始位置。总的来说，我们对行列式唯一做的改变就是两次乘以 $-1$，这在一般环中也是可以抵消的。

6. 假设第 $j$ 列和第 $k$ 列相等，$k\neq j$。然后，我们从第 $k$ 列中减去第 $j$ 列（或者反过来），而不会改变行列式，得到一个包含零列的矩阵，然后应用第 1 条结论。

7. 将 $\sigma$ 分解成交换，反复使用第 4 条结论，并进一步使用 $\operatorname {sgn}$ 是一个群同态。$\Box$

注意，我们在前面的证明中只使用了公理 2 和 3。

以下引理将帮助我们证明行列式的唯一性，以及公式$\det(AB)=\det A\det B$。

引理 7.3:

令$A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ 和 $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ 是两个$n\times n$ 矩阵，其元素属于交换环$R$。那么

$\det(AB)=\det A\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (1)}\cdots b_{n,\sigma (n)}$.

证明:

矩阵$AB$ 的第$k$ 列是$\sum _{\nu =1}^{n}b_{\nu ,k}\mathbf {a} _{\nu }$。因此，根据行列式公理 3 和定理 7.2、7. 和 6.，我们得到，用$AB=:C=(c_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}=(\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{n})$ 表示

${\begin{aligned}\det(AB)&=\sum _{\nu _{1}=1}^{n}b_{\nu _{1},1}\det(\mathbf {a} _{\nu _{1}},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{n})\\&=\sum _{\nu _{1}=1}^{n}\sum _{\nu _{2}}^{n}b_{\nu _{1},1}b_{\nu _{2},2}\det(\mathbf {a} _{\nu _{1}},\mathbf {a} _{\nu _{2}},\mathbf {c} _{3},\ldots ,\mathbf {c} _{n})\\&=\cdots =\sum _{\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}=1}^{n}b_{\nu _{1},1}\cdots b_{\nu _{n},n}\det(\mathbf {a} _{\nu _{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{\nu _{n}})\\&=\det A\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (1)}\cdots b_{n,\sigma (n)}\end{aligned}}$$\Box$

定理 7.4（行列式的唯一性）:

对于每个交换环，最多只有一个行列式，如果它存在，它等于

$\det C=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )c_{1,\sigma (1)}\cdots c_{n,\sigma (n)}$.

证明:

令 $C\in R^{n\times n}$ 是一个任意矩阵，并设置 $A=I_{n}$ 和 $B=C$ 在引理 7.3 中。那么我们通过行列式公理 1 获得（我们第一次使用该公理）

$\det C=\det(I_{n}C)=1\cdot \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )c_{1,\sigma (1)}\cdots c_{n,\sigma (n)}$.$\Box$

定理 7.5（行列式的乘法性）:

如果 $\det$ 是一个行列式，那么

$\det(AB)=\det A\det B$.

证明:

从引理 7.3 和定理 7.4 中我们可以推断出

$\det(AB)=\det(A)\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (1)}\cdots b_{n,\sigma (n)}=\det(A)\det(B)$.$\Box$

定理 7.6（行列式的存在）:

设 $R$ 为一个交换环。那么

$\det(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}$

是一个行列式。

证明:

首先，$I_{n}$ 在对角线以外的所有位置都具有非零项。因此，如果 $I_{n}=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$，那么 $a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}$ 除了 $\sigma (1)=1,\ldots ,\sigma (n)=n$，即 $\sigma$ 为恒等映射时为零。因此 $\det(I_{n})=1$.

现在设 $A$ 为一个矩阵，其 $j$ 列和 $j+1$ 列相等。函数

$f:S_{n}\to S_{n},f(\sigma )=k\mapsto {\begin{cases}\sigma (k)&k\notin \{j,j+1\}\\\sigma (j)&k=j+1\\\sigma (j+1)&k=j\end{cases}}$

是双射的，因为逆函数由 $f$ 本身给出。此外，由于 $f$ 等同于将 $\sigma$ 与另一个交换组合，它是符号反转的。因此，我们有

${\begin{aligned}\det(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\\&=\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =1}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}-\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =-1}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\\&=\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =1}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}-\sum _{\operatorname {sgn} \sigma =1}a_{1,f(\sigma )(1)}\cdots a_{n,f(\sigma )(n)}\end{aligned}}$.

现在，由于 $j$ 列和 $j+1$ 列的 $A$ 是相同的，$\forall k,l\in \mathbb {N} :a_{k,\sigma (l)}=a_{k,f(\sigma )(l)}$。因此 $\det A=0$。

线性来自每个被加数的线性

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots (a_{\sigma ^{-1}(j),j}+cb_{\sigma ^{-1}(j),j})\cdots a_{n,\sigma (n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{\sigma ^{-1}(j),j}\cdots a_{n,\sigma (n)}+c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots b_{\sigma ^{-1}(j),j}\cdots a_{n,\sigma (n)}$.$\Box$

定理 7.7:

任何矩阵的行列式等于该矩阵的转置的行列式。

证明:

观察到求逆是$S_{n}$上的一个双射，其逆由求逆给出 ($(\sigma ^{-1})^{-1}=\sigma$)。进一步观察到$\operatorname {sgn}(\sigma )=\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1})$，因为我们只是按相反的顺序应用所有对换。所以，

$\det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}=\sum _{\sigma ^{-1}\in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1})a_{1,\sigma ^{-1}(1)}\cdots a_{n,\sigma ^{-1}(n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (n),n}=\det A^{t}$.$\Box$

定理 7.8 (列展开):

设 $A$ 为在交换环 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵。对于 $1\leq i,j\leq n$，定义 $A_{i,j}$ 为从 $A$ 中划去第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的 $(n-1)\times (n-1)$ 矩阵。那么对于任何 $k\in \{1,\ldots ,n\}$，我们有

$\det A=\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu +k}a_{\nu ,k}\det A_{\nu ,k}$.

证明 1:

我们根据定理 7.5 和 7.6 给出的行列式公式证明该定理。

设 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 为固定值。对于每个 $\nu \in \{1,\ldots ,n\}$，我们定义

$f:S_{n-1}\to S_{n},f(\sigma ):=m\mapsto {\begin{cases}\nu &m=\nu \\\sigma (m)&m<\nu \wedge \sigma (m)<\nu \\\sigma (m)+1&m<\nu \wedge \sigma (m)\geq \nu \\\sigma (m-1)&m>\nu \wedge \sigma (m)<\nu \\\sigma (m-1)+1&m>\nu \wedge \sigma (m)\geq \nu \end{cases}}$.

那么

${\begin{aligned}\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}\det A_{\nu ,k}&=\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu +k}a_{\nu ,k}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,f(\sigma )(1)}\cdots a_{k-1,f(\sigma )(k-1)}a_{k+1,f(\sigma )(k+1)}\cdots a_{n,f(\sigma )(n)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}.\end{aligned}}$$\Box$

证明 2:

我们注意到，以上所有推导都可以用行而不是列来完成（这仅仅意味着交换 $a_{i,j}$ 和 $a_{j,i}$ 每次），最终得到相同的行列式公式，因为

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}=\sum _{\sigma ^{-1}\in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1})a_{1,\sigma ^{-1}(1)}\cdots a_{n,\sigma ^{-1}(n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (n),n}$

如定理 7.7 中所述。

因此，我们证明了函数 $R^{n\times n}\to R$ 由公式 $\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{\nu +k}a_{\nu ,k}\det A_{\nu ,k}$ 满足 7.1 中的 1-3，但用行而不是列，然后用行而不是列应用定理 7.4。

1.

令 $A=I_{n}$ 得到

$\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det A_{\nu ,k}=(-1)^{2k}a_{k,k}\det A_{k,k}=1\cdot 1=1$.

2.

令$A$ 有两行相邻且相等，例如第 $j$ 行和第 $j+1$ 行。那么

$\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det A_{\nu ,k}=(-1)^{j+k}\det A_{j,k}+(-1)^{j+1+k}\det A_{j+1,k}=0$,

因为除了可能 $\nu =j$ 和 $\nu =j+1$ 外，每个 $A_{\nu ,k}$ 都有两行相邻且相等，因此根据定理 7.6，这些情况下的行列式都为零，并且 $A_{j,k}=A_{j+1,k}$，因为在两者中我们都删除了“相同的”行。

3.

定义 $B:=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {a} _{j}+c\mathbf {b} _{j}\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})^{t}$，并且对于每个 $\nu ,k\in \{1,\ldots ,n\}$，定义 $C_{\nu ,k}$ 为从矩阵 $C:=(c_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}:=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},\mathbf {b} _{j}\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})^{t}$ 中删除第 $\nu$ 行和第 $k$ 列得到的矩阵。那么根据定理 7.6 和行列式的公理 3，

${\begin{aligned}\sum _{\nu =1}^{n}b_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det B_{\nu ,k}&=\sum _{\nu =1}^{j-1}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}(\det A_{\nu ,k}+c\det C_{\nu ,k})+(-1)^{j+k}(a_{j,k}+cb_{j,k})\det A_{j,k}+\sum _{\nu =j+1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}(\det A_{\nu ,k}+c\det C_{\nu ,k})\\&=\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det A_{\nu ,k}+c\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu ,k}(-1)^{\nu +k}\det C_{\nu ,k}\\&=\det A+c\det C\end{aligned}}$.

因此，行列式按行是线性的。 $\Box$

为了完整起见，我们也注意到以下引理

引理 7.9:

令 $A$ 是一个可逆矩阵。 那么 $\det(A)$ 是可逆的。

证明:

事实上，$\det(A)^{-1}=\det(A^{-1})$ 由于行列式的乘法性。 $\Box$

反之亦然，将在下一小节中证明。

习题

• 习题 7.1.1: 论证行列式，看作从所有矩阵集合（其中标量是 $1\times 1$-矩阵）的映射，是幂等的。

一般情况下克莱姆法则

定理 7.10（克莱姆法则，线性方程的解）:

令 $R$ 为一个交换环，令 $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ 为一个在 $R$ 中有元素的矩阵，令 $\mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{n})^{t}$ 为一个向量。如果 $A$ 可逆，则方程 $Ax=\mathbf {b}$ 的唯一解为

$x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}$,

其中 $A_{j}$ 是通过将 $A$ 的第 $j$ 列替换为 $\mathbf {b}$ 而得到的矩阵。

证明 1:

令 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 为任意但固定的值。 $A$ 的行列式在第一列中是线性的，因此它构成了第一列中的线性映射 $L_{j}:R^{n}\to R$，将任何向量映射到 $A$ 的行列式，其中 $j$ 列被该向量替换。如果 $\mathbf {a} _{j}$ 是 $A$ 的第 $j-$ 列，则 $L_{j}(\mathbf {a} _{j})=\det(A)$。此外，如果我们在 $L_{j}$ 中插入不同的列 $\mathbf {a} _{k}$，我们将得到零，因为我们得到了一个矩阵的行列式，其中列 $\mathbf {a} _{k}$ 出现了两次。现在我们考虑方程组

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=b_{1}\\&\vdots \\a_{n,1}x_{1}+\cdots +a_{n,n}x_{n}&=b_{n},\end{cases}}$

其中 $(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}$ 是系统 $Ax=b$ 的唯一解，由于它由 $A^{-1}b$ 给出，所以该解存在，因为 $A$ 是可逆的。由于 $L_{j}$ 是线性的，我们找到了一个 $1\times n$ 矩阵 $(c_{1},\ldots ,c_{n})$ 使得对于所有 $\mathbf {v} \in R^{n}$

$(c_{1},\ldots ,c_{n})\cdot \mathbf {v} =L_{j}(\mathbf {v} )$;

实际上，根据定理 7.8，$c_{k}=(-1)^{j+k}\det(A_{j,k})$。我们现在以以下方式将上述线性方程组的各行相加：我们将第一行乘以 $c_{1}$，第二行乘以 $c_{2}$，依此类推。根据我们的考虑，这将得出结果

$\det(A)x_{j}=L_{j}(\mathbf {b} )$.

根据引理 7.9，$\det(A)$ 是可逆的。因此，我们得到

$x_{j}=(\det(A))^{-1}L_{j}(\mathbf {b} )=(\det(A))^{-1}\det(A_{j})$

因此证明了定理。$\Box$

证明 2:

对于所有 $j\in \{1,\ldots ,n\}$，我们定义矩阵

$X_{j}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&x_{1}&0&\cdots &&0\\0&1&\cdots &0&x_{2}&0&\cdots &&0\\\vdots &&\ddots &&\vdots &&&&\vdots \\\vdots &&&&\vdots &\ddots &&&\vdots \\0&&\cdots &0&x_{n}&0&\cdots &1&0\\0&&\cdots &0&x_{n}&0&\cdots &0&1\end{pmatrix}};$

此矩阵表示一个单位矩阵，其中第 $j$ 列被向量 $(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathbf {T} }$ 替换。通过展开第 $j$ 列，我们发现该矩阵的行列式由 $\det(X_{j})=x_{j}$ 给出。

现在我们注意到如果 $A=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$，那么 $X_{j}=A^{-1}(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{j-1},A\mathbf {b} ,\mathbf {a} _{j+1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})=A^{-1}A_{j}$。因此

$x_{j}=\det(A^{-1}A_{j})=\det(A^{-1})\det(A_{j})=\det(A)^{-1}\det(A_{j})$,

其中最后一个等式遵循引理 7.9 中的结论。$\Box$

定理 7.11（克莱姆法则，矩阵求逆）:

令 $A$ 为一个在环 $R$ 中的元素的 $n\times n$ 矩阵。我们回顾一下，矩阵 $A$ 的余因子矩阵 $\operatorname {Cof} A$ 是一个矩阵，其中 $(i,j)$-th 项是

$(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$,

其中 $A_{i,j}$ 是通过从 $A$ 中划去第 $i$ 行和第 $j-$ 列得到的。我们进一步回顾一下，伴随矩阵 $\operatorname {adj} (A)$ 由以下给出

$\operatorname {adj} (A):=\operatorname {Cof} (A)^{\mathsf {T}}$.

根据这个定义，我们有

$\operatorname {adj} (A)A=\det(A)I_{n}$.

特别地，如果 $\det(A)$ 是 $R$ 中的单位元，那么 $A$ 可逆，且

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A)$.

证明:

对于 $j\in \{1,\ldots ,n\}$，我们令 $\mathbf {b} _{j}:=e_{j}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)^{T}$，其中 0 在 $j$ 位。此外，我们令 $L_{j}$ 为定理 7.10 证明 1 中的线性函数，以及 $M_{j}$ 为它的矩阵。那么 $\operatorname {adj} (A)$ 由下式给出

$\operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}-M_{1}-\\\vdots \\-M_{n}-\end{pmatrix}}$

根据定理 7.8。因此，

$\operatorname {adj} (A)A={\begin{pmatrix}-M_{1}A-\\\vdots \\-M_{n}A-\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\det(A)&0&\cdots &\cdots &0\\0&\det(A)&&0&\vdots \\\vdots &&\ddots &&\vdots \\\vdots &0&&\det(A)&0\\0&\cdots &\cdots &0&\det(A)\end{pmatrix}},$

其中我们利用了定理 7.10 证明 1 中建立的 $L_{j}$ 的性质。$\Box$

定理

现在，我们可以最终应用我们已经建立的机制来证明以下两个基本定理。

定理 7.12（凯莱-哈密尔顿定理）:

设 $M$ 是一个有限生成的 $R$-模，设 $\phi :M\to M$ 是一个模同态，设 $I\leq R$ 是 $R$ 的一个理想，使得 $\phi (M)\subseteq IM$。那么存在 $n\in \mathbb {N}$ 和 $a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}\in I$ 使得

$\phi ^{n}+a_{n-1}\phi ^{n-1}+\cdots +a_{1}\phi +a_{0}=0$;

这个等式应该理解为

$\forall m\in M:\phi ^{n}(m)+a_{n-1}\phi ^{n-1}(m)+\cdots +a_{1}\phi (m)+a_{0}m=0$,

其中 $\phi ^{n}(m)$ 表示对 $m$ 应用 $\phi$ $n$ 次。

注意，关于 $\phi$ 的多项式是首一的，也就是说，首项系数是 $1$，即该环的单位元。

证明：假设 $\{m_{1},\ldots ,m_{n}\}$ 是 $M$ 的生成集。由于 $\phi (M)\subseteq IM$，我们可以写成

$\phi (m_{j})=\sum _{k=1}^{n}b_{j,k}x_{k},~j\in \{1,\ldots ,n\}$ (*),

其中 $b_{k}\in I$ 对于每个 $k$ 都成立。我们现在定义一个新的交换环如下

${\tilde {R}}:=\{\phi ^{k}|k\in \mathbb {N} \}\cup R$,

其中我们将 $R$ 中的每个元素 $r$ 视为 $M$ 上的同态 $m\mapsto rm$。也就是说，${\tilde {R}}$ 是 $M$ 的同态环的子环（即，乘法由复合给出）。由于 $\phi$ 是 $R$-线性的，${\tilde {R}}$ 是交换的。

现在对于每个 $n\times n$ 矩阵 $A$，其元素在 ${\tilde {R}}$ 中，我们可以将其与一个函数相关联

$A():M^{n}\to M^{n},A\left((x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\right):=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{1,k}(x_{1}),\ldots ,\sum _{k=1}^{n}a_{1,k}(x_{1})\right)$.

利用所有相关函数的线性性质，很容易看出对于另一个$n\times n$矩阵，其元素在${\tilde {R}}$中，称为$B$，$AB$的关联函数等于$A$和$B$的关联函数的复合；也就是说，$(AB)(x)=A(B(x))$.

现在考虑到这一点，我们可以将系统 (*) 重写如下

$A(x)=0$,

其中 $A$ 的第 $j,k$ 个元素为 $\delta _{j,k}\phi -b_{j,k}\in {\tilde {R}}$。 现在定义 $B:=\operatorname {adj} (A)$。 从克莱姆法则 (定理 7.11) 我们得到

$BA=I_{n}\det(A)$,

这就是为什么

$(\det Ax_{1},\ldots ,\det Ax_{n})^{t}=(BA)(x)=B(A(x))=B(0)=\mathbf {0}$，零向量。

因此，$\det A\in {\tilde {R}}$ 是零映射，因为它将所有生成元映射到零。现在进一步，如定理 7.4 中给出的表示所见，它具有以下形式

$\phi ^{n}+a_{n-1}\phi ^{n-1}+\cdots +a_{1}\phi +a_{0}$

对于合适的 $a_{n-1},\ldots ,a_{0}\in I$.$\Box$

定理 7.13（中山引理）:

令 $R$ 为一个环，$M$ 为一个有限生成的 $R$ 模，$I\leq R$ 为一个理想，使得 $IM=M$。那么存在一个 $x\equiv 1\mod I$ 使得 $xM=0$.

证明:

在定理 7.12 中选择 $\phi =\operatorname {Id_{M}}$ 以获得 $m\in M$，使得

$\phi ^{n}(m)+a_{n-1}\phi ^{n-1}(m)+\cdots +a_{1}\phi (m)+a_{0}m=(1+a_{n-1}+\cdots +a_{0})m=0$

对于合适的 $a_{n-1},\ldots ,a_{0}\in I$，因为恒等式是幂等的。$\Box$