交换代数/无扭、平坦、射影和自由模

自由模

以下定义是线性代数的直接推广。我们先重复我们在第 6 章中看到的定义。

定义 6.1（模的生成元）:

令 $M$ 是环 $R$ 上的模。$M$ 的一个生成集是 $\{m_{j}\}_{j\in J}\subseteq M$，使得

$\forall n\in M:\exists j_{1},\ldots ,j_{k}\in J,r_{1},\ldots ,r_{k}\in R:n=\sum _{l=1}^{k}r_{l}m_{j_{l}}$.

我们还有

定义 11.1:

令 $M$ 是 $R$-模。$M$ 的一个子集 $\{m_{j}\}_{j\in J}$ 称为线性无关当且仅当，当 $j_{1},\ldots ,j_{n}\in J$ 时，我们有

$r_{1}m_{j_{1}}+\cdots +r_{n}m_{j_{n}}=0\Rightarrow r_{1},\ldots ,r_{n}=0$.

定义 11.2:

一个自由$R$-模是一个模$M$ 在$R$ 上，其中存在一个基，即$\{m_{j}\}_{j\in J}$ 的$M$ 子集是一个线性无关的生成集。

定理 11.3:

令$M_{\alpha },\alpha \in A$ 是自由模。那么直和

$\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$

是自由的。

证明:

令基$\{e_{\beta }\}_{\beta \in B_{\alpha }}$ 的$M_{\alpha }$ 被给出。我们断言

$\left\{\left(0,\ldots ,0,\overbrace {e_{\beta _{\alpha }}} ^{\alpha {\text{-th place}}},0,\ldots ,0\right){\big |}\alpha \in A,\beta _{\alpha }\in B_{\alpha }\right\}$

是

$M:=\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$.

的基。实际上，令任意元素$(m_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 被给出。然后根据假设，每个$m_{\alpha }$ 有分解

$m_{\alpha }=\sum _{j=1}^{n_{\alpha }}r_{j,\alpha }e_{\beta _{j,\alpha }}$

对于适合的 $e_{\beta _{j,\alpha }}\in \{e_{\beta }\}_{\beta \in B_{\alpha }}$。将这些求和，我们得到一个 $(m_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 在上述基中的分解。此外，这个分解必须是唯一的，否则投影会给出一个新的特定 $m_{\alpha }$ 的组合。$\Box$

一般情况下，反过来是不成立的！

定理 11.4:

令 $M,N$ 为自由 $R$ 模，基分别为 $\{e_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 和 $\{f_{\beta }\}_{\beta \in B}$。那么

$M\otimes _{R}N$

是一个自由模，其基为

$\{e_{\alpha }\otimes f_{\beta }\}_{(\alpha ,\beta )\in A\times B}$,

其中我们简写为

$e_{\alpha }\otimes f_{\beta }:=[(e_{\alpha },f_{\beta })]$

（请注意，使用这种符号是相当常见的）。

证明:

我们首先证明我们假设的基构成一个生成系统。显然，通过求和，我们只需要证明以下形式的元素

$m\otimes n$，$m\in M,n\in N$

可以用 $e_{\alpha }\otimes f_{\beta }$ 表示。因此，写

$m=\sum _{j=1}^{\mu }r_{j}e_{\alpha _{j}}$ 和 $n=\sum _{i=1}^{\nu }s_{i}b_{\beta _{i}}$，

并根据张量积运算规则得到

$m\otimes n=\sum _{j=1}^{\mu }\sum _{i=1}^{\nu }r_{j}s_{i}e_{\alpha _{j}}\otimes b_{\beta _{i}}$.

另一方面，如果

$0=\sum _{\alpha \in A,\beta \in B}t_{\alpha ,\beta }e_{\alpha }\otimes f_{\beta }$

是一个线性组合（即除了有限个求和项外，其余项都为零），那么所有的 $t_{\alpha ,\beta }$ 必须为零。论证如下：固定 $\alpha ,\beta$ 并定义一个双线性函数

$f:M\times N\to R,(m,n)\mapsto r_{\alpha }s_{\beta }$,

其中 $r_{\alpha }$，$s_{\beta }$ 分别是 $e_{\alpha }$，$f_{\beta }$ 在 $m$ 和 $n$ 的分解中的系数。根据张量积的泛性质，我们得到一个线性映射

$g:M\otimes N\to R$，其中 $g\circ \pi =f$，

其中 $\pi :M\times N\to M\otimes N$ 是商空间上的典型投影。 我们有以下方程

$g(e_{\alpha '}\otimes f_{\beta '})=f(e_{\alpha '},f_{\beta '})=[\alpha =\alpha '\wedge \beta =\beta ']$,

将给定的线性组合代入此映射，因此得到所需的结果。 $\Box$

投影模

以下是自由模的推广

定义 11.5:

设 $M$ 是一个 $R$-模。 $M$ 称为投影模当且仅当对于一个固定的模 $N$ 和一个固定的满射 $f:N\twoheadrightarrow M$，每个其他以 $M$ 为陪域的模同态（称为 $g:K\to M$）都有因式分解

.

定理 11.6:

每个自由模都是投影模。

证明:

选择一个基 $\{m_{j}\}_{j\in J}$ 的 $M$，设 $f:N\twoheadrightarrow M$ 是满射，设 $g:K\to M$ 是某个同态。 对于每个 $m_{j}$ 选择 $n_{j}\in N$ 使得 $f(n_{j})=m_{j}$。 定义

$h:K\to N,h(k)=\sum _{i=1}^{l}r_{i}n_{j_{i}}$ 其中 $g(k)=\sum _{i=1}^{l}r_{i}m_{j_{i}}$.

这是定义明确的，因为描述 $g(k)$ 的线性组合是唯一的。此外，它是线性的，因为我们有

$g(k+rk')=\sum _{i=1}^{l}r_{i}m_{j_{i}}+r\sum _{i'=1}^{l'}r_{i}'m'_{j_{i}'}$,

其中右边是与 $g(k)$ 和 $g(k')$ 相一致的线性组合之和，这就是为什么 $h(k+rk')=h(k)+rh(k')$。通过 $f$ 的线性性和 $n_{j}$ 的定义，它具有所需的性质。$\Box$

投影模存在几个等价定义。

定理 11.7:

模 $M$ 是投影的，当且仅当存在模 $N$ 使得 $K:=M\oplus N$ 是自由的。

证明:

$\Rightarrow$: 定义模

$L:=\bigoplus _{m\in M}R$

(这显然是一个自由模) 和函数

$f:L\to M,(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)\mapsto rm$.

$f$ 是一个满射态射，因此我们得到一个交换图

;

也就是说，$f\circ h=\operatorname {Id} _{M}$.

我们断言映射

$\varphi :M\oplus \ker f\to L,\varphi (m,k):=h(m)+k$

是一个同构。事实上，如果$h(m)+k=0$，则$f(h(m)+k)=f(h(m))=m=0$，因此也有$k=0$（单射性），并且进一步$\varphi ((rm,0))=(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)+k$，其中$k\in \ker f$，这就是为什么

$\varphi ((rm,-k))=(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)=(0,\ldots ,0,\overbrace {r} ^{m{\text{-th place}}},0,\ldots ,0)$

（满射性）。

$\Leftarrow$：假设$M\oplus L$是一个自由模。假设$f:N\twoheadrightarrow M$是一个满射态射，并且令$g:K\to M$为任意态射。我们将$g$扩展到${\tilde {g}}:K\to M\oplus L$，通过

${\tilde {g}}(k):=(g(k),0)$.

由于线性映射 $g$ 和线性嵌入 $M\hookrightarrow M\oplus L$ 的合成，这仍然是线性的。现在 $M\oplus L$ 是射影的，因为它自由。因此，我们得到一个交换图

其中 ${\tilde {h}}$ 满足 $(f\times \operatorname {Id} _{L})\circ {\tilde {h}}={\tilde {g}}$。将 ${\tilde {h}}$ 投影到 $N$ 给出了 $M$ 的期望图。$\Box$

定义 11.8:

模块的精确序列

$0\rightarrow K\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow 0$

称为 **分裂精确** 当且仅当我们可以用三个同构来增强它，使得

交换。

定理 11.9:

一个模块 $M$ 是射影的当且仅当每个精确序列

$0\rightarrow K\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow 0$

是分裂精确的。

证明:

$\Rightarrow$: 态射 $N\rightarrow M$ 是满射的，因此每个其他以 $M$ 为余域的态射都提升到 $N$。特别是，投影 $\pi :K\oplus M\to M$ 也是如此。因此，我们得到一个交换图

其中我们还不知道 $h$ 是否是同构，但我们可以使用 $h$ 来定义函数

${\tilde {h}}:K\otimes M\to N,{\tilde {h}}(k,m):=g(k)+h(0,m)$,

这是由于 *单射性* 而成为同构

设 ${\tilde {h}}(k,m)=0$，即 $h(0,m)+g(k)=0$。然后首先

$m=f(h(0,m))=f(h(0,m)+g(k))=f(0)=0$

因此其次

$g(k)=h(0,m)+g(k)=0\Rightarrow k=0$.

并且满射

设 $n\in N$。设 $m:=f(n)$。那么

$h(0,m)-n\in \ker f=\operatorname {im} h$

因此，对于合适的 $k\in K$，$g(k)=h(0,m)-n$，因此

$n={\tilde {h}}(-k,m)$.

因此我们得到交换图

并且已经证明了我们想要证明的内容。

$\Leftarrow$：我们证明，对于合适的 $N$，$M\oplus N$ 是自由的。

我们设定

$K:=\bigoplus _{m\in M}R$，$f:K\to M$

其中，$f$ 的定义与定理 11.7 的证明相同 $\Rightarrow$。我们得到一个精确序列

$0\rightarrow \ker f{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}K{\overset {f}{\rightarrow }}M\rightarrow 0$

根据假设，该序列分裂为

这就是为什么 $\ker f\oplus M$ 与自由模 $K$ 同构，因此本身也是自由模。 $\Box$

定理 11.10:

设 $M$ 和 $N$ 是射影 $R$-模。 那么 $M\otimes N$ 是射影的。

证明:

我们选择 $L,K$ $R$-模，使得 $M\oplus L$ 和 $N\oplus K$ 是自由模。 由于自由模的张量积是自由模，因此 $(M\oplus L)\otimes (N\oplus K)$ 是自由的。 但是

$(M\oplus L)\otimes (N\oplus K)\cong (M\otimes N)\oplus (M\otimes K)\oplus (L\otimes N)\oplus (L\otimes K)$,

因此 $M\otimes N$ 出现在自由模的直和项中，因此是射影的。 $\Box$

定理 11.11:

设 $M_{\alpha },\alpha \in A$ 是 $R$-模。 那么 $\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 是射影的当且仅当每个 $M_{\alpha }$ 是射影的。

证明:

设每个 $M_{\alpha }$ 都是投射的。则每个 $M_{\alpha }$ 都是自由模的直和因子，将所有这些自由模加起来就证明了 $\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 是自由模的直和因子。

另一方面，如果 $\bigoplus _{\alpha \in A}M_{\alpha }$ 是自由模的因子，则所有 $M_{\alpha }$ 都是如此。 $\Box$

平坦模

以下是投射模的推广

定义 11.12:

一个 $R$-模 $M$ 被称为平坦的当且仅当用它进行张量积能保持精确性

$0\rightarrow N\rightarrow L\rightarrow K\rightarrow 0$ 是精确的蕴含 $0\rightarrow N\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow 0$ 是精确的。

右边的序列中的态射由任何态射 $f$ 诱导，由双线性映射给出

$(x,m)\mapsto f(x)\otimes m$.

定理 11.13:

模 $S^{-1}R$ 是一个平坦的 $R$-模。

证明：这来自定理 9.10 和 10.?。 $\Box$

定理 11.14:

平坦性是一个局部性质。

证明：精确性是一个局部性质。此外，对于任何乘法封闭的 $S\subseteq R$

$S^{-1}(M\otimes _{R}N)\cong S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N$

根据定理 9.11。由于每个 $S^{-1}R$-模都是一个 $R$-模的局部化（例如，它本身作为一个 $R$-模通过 $rn=r/1n$），定理得证。$\Box$

定理 11.15:

射影模是平坦的。

证明:

我们首先证明每个自由模都是平坦的。这将使我们能够证明每个射影模都是平坦的。

事实上，如果 $M$ 是一个自由模，并且 $\{e_{\alpha }\},\alpha \in A$ 是 $M$ 的基，我们有

$M\cong \bigoplus _{\alpha \in A}R$

通过

$\sum _{\alpha \in A}r_{\alpha }e_{\alpha }\mapsto (r_{\alpha })_{\alpha \in A}$,

其中左侧除了有限个之外，其他所有求和项都是非零的。因此，如果我们给定任何精确序列

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$,

要证明序列

$0\rightarrow A\otimes M\rightarrow B\otimes M\rightarrow C\otimes M\rightarrow 0$

是精确的，我们只需要证明

$0\rightarrow A\otimes M\rightarrow B\otimes M\rightarrow C\otimes M\rightarrow 0$

是精确的，因为我们可以通过合适的同构来扩展后面的序列

定理 11.16:

直接和是平坦的当且仅当所有直和项都是平坦的

定理 11.17:

如果 $M,N$ 是平坦的 $R$-模，那么 $M\otimes _{R}N$ 也是平坦的。

证明:

令

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$

为一个模的精确序列。

无扭模

以下是对平坦模的推广

定义 11.18:

令 $M$ 为一个 $R$-模。$M$ 的**扭转**定义为集合

$T(M):=\{m\in M|\exists r\in R:rm=0\}$.

引理 11.19:

模的扭转是该模的一个子模。

证明:

设 $m,n\in T(M)$，$r\in R$。显然 $m-n\in T(M)$（只需将两个零化元素相乘即可），并且 $s(rm)=r(sm)=0$ 若 $sm=0$（这里我们使用了交换性）。$\Box$

现在我们可以定义无扭模。它们正是你所认为的那样。

定义 11.20:

设 $M$ 为一个模。 $M$ 称为无扭模当且仅当

$T(M)=\{0\}$.

定理 11.21:

一个平坦模是无扭模。

为了更好地理解这个理论，我们定义一个乘法封闭子集 $S$ 的 $S$-扭。

定义 11.22:

设 $S\subseteq R$ 为环 $R$ 的一个乘法封闭子集，并设 $M$ 为一个 $R$-模。那么 $M$ 的 $S$-扭 定义为

$T_{S}(M):=\{m\in M|\exists s\in S:sm=0\}$.

定理 11.23:

令 $S\subseteq R$ 是环 $R$ 的一个乘法封闭子集，令 $M$ 是一个 $R$-模。那么 $S$-扭转子 $M$ 正好是典范映射 $\pi _{S}:M\to S^{-1}M$ 的核。