交换代数/赋值环

增广有序阿贝尔群

在本节中，出于很快就会变得明显的理由，我们将阿贝尔群写成乘法形式。

定义 18.1:

一个有序阿贝尔群是一个群$G$加上一个子集$T\subset G$使得

1. $T$在乘法下是封闭的（即$a,b\in T\Rightarrow ab\in T$）。
2. 如果$a\in T$，那么$a^{-1}\notin T$。（这尤其意味着$1\notin T$。）
3. $G=T\cup \{1\}\cup T^{-1}$.

我们将有序阿贝尔群写成对$(G,T)$.

最后两个条件可以总结为：$G$是$T$，$\{1\}$和$T^{-1}$的不交并。

定理 18.2:

令有序群$(G,T)$给出。在$G$上定义一个序

$a<b:\Leftrightarrow ab^{-1}\in T$，$a\leq b:\Leftrightarrow a\leq b\vee a=b$.

那么$<$具有以下性质

1. $<$是$G$的全序关系。
2. $<$ 与 $G$ 的乘法兼容（即，$c\in G$ 且 $a\leq b$ 意味着 $ca\leq cb$）。

证明:

我们首先证明第一个断言。

$\leq$ 是根据定义的自反的。它也是传递的：设 $a\leq b$ 且 $b\leq c$。当 $a=b$ 或 $b=c$ 时，断言 $a\leq c$ 通过在给定方程中的任一方程中用 $b$ 替换得到。因此，假设 $ab^{-1}\in T$ 且 $bc^{-1}\in T$。然后 $(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}\in T$，因此 $a\leq c$（甚至 $a<c$）。

令 $a\leq b$ 且 $b\leq a$。假设 $a\neq b$ 以得出矛盾。那么 $ab^{-1}\in T$ 且 $ba^{-1}\in T$，由于 $T$ 在乘法下封闭，$1\in T$，矛盾。因此 $a=b$。

令 $a,b\in G$ 使得 $a\neq b$。由于 $G=T\cup \{1\}\cup T^{-1}$，$ab^{-1}$（不等于 $1$）要么在 $T$ 中，要么在 $T^{-1}$ 中（但不会同时出现在两个集合中，因为如果 $ab^{-1}\in T^{-1}\Rightarrow (ab^{-1})^{-1}\in T$，并且由于 $ab^{-1}\in T$，$1\in T$，矛盾）。因此，要么 $a<b$，要么 $b<a$。

然后我们继续进行第二个断言。

设 $c\in G$。如果 $a=b$，则结论是显然的。如果 $a<b$，则 $ab^{-1}\in T$，但 $ab^{-1}=acc^{-1}b^{-1}=ac(bc)^{-1}$。因此 $ac<bc$。$\Box$

定义 18.3:

设 $(G,T)$ 是一个有序阿贝尔群。一个 **增广有序阿贝尔群** 是 $(G,T)$ 与一个元素 $0$（零）的组合，使得以下规则成立

$00=0$，$\forall g\in G:0g=0$.

我们将增广有序阿贝尔群写成三元组 $(G,T,0)$.

赋值与赋值环

定义 18.4:

设 $\mathbb {F}$ 是一个域，设 $(G,T,0)$ 是一个增广有序阿贝尔群。域 $\mathbb {F}$ 的 **赋值** 是一个映射 $\varphi :\mathbb {F} \to G\cup \{0\}$，使得

1. $\varphi (x)=0\Leftrightarrow x=0$.
2. $\forall x,y\in \mathbb {F} :\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$.
3. $\forall x,y\in \mathbb {F} :\varphi (x+y)\leq \max\{\varphi (x),\varphi (y)\}$.

定义 18.5:

一个 **赋值环** 是一个整环 $D$，使得存在一个增广有序阿贝尔群 $(G,T,0)$ 和一个赋值 $\varphi :\operatorname {Quot} (D)\to G\cup \{0\}$ 满足 $D=\{c\in \operatorname {Quot} (D)|\varphi (c)\leq 1\}$.

定理 18.6:

设 $R$ 是一个赋值环，且 $\operatorname {Quot} (R)$ 是它的分数域。则下列条件等价

1. $R$ 是一个赋值环。
2. $R$ 是一个整环，且 $R$ 的理想按集合包含关系线性排序。
3. $R$ 是一个整环，且对于每个 $c\in \operatorname {Quot} (R)$，要么 $c\in R$，要么 ${\frac {1}{c}}\in R$.

证明:

我们从 3. 开始。 $\Rightarrow$ 1.；假设 $R$

1. $\Rightarrow$ 2.: 设 $I,J\leq R$ 是任意两个理想。假设存在 $a\in J\setminus I$。设任意元素 $b\in I$ 是给定的。

赋值环的性质

定理 18.8:

赋值环是一个局部环。

证明:

估值环 $R$ 的理想按包含关系排序。令 $m:=\bigcup _{I\leq R \atop I\neq R}I$。我们断言 $m$ 是 $R$ 的一个真理想。显然 $1\notin m$，否则 $1\in I$ 对于 $R$ 的某个真理想 $I$ 成立。此外，${\displaystyle }$.

定理 18.9:

设 $R$ 是一个诺特环并且是一个估值环。那么 $R$ 是一个主理想整环。

证明:

因为，设 $I\leq R$ 是一个理想；在任何诺特环中，理想都是有限生成的。因此，令 $I=\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$。考虑 $R$ 的理想 $\langle a_{1}\rangle ,\ldots ,\langle a_{n}\rangle$。在估值环中，理想是全序的，所以我们可以重新排列 $a_{j}$ 使得 $\langle a_{1}\rangle \subseteq \langle a_{2}\rangle \subseteq \cdots \subseteq \langle a_{n}\rangle$。那么 $I=\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle =\langle a_{n}\rangle$.$\Box$