复变函数/附录/证明/定理 1.1

我们证明一个集合 ${\mathfrak {G}}\subset \mathbb {C}$ 是闭合的当且仅当它包含所有其 极限点。

我们假设 ${\mathfrak {G}}$ 包含所有其极限点，并证明其补集是开集。令 $z_{0}\in \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$。那么，由于 $z_{0}$ 不是 ${\mathfrak {G}}$ 的极限点，存在一个球 $B_{\delta }(z_{0})$ 不包含 ${\mathfrak {G}}$ 的任何点，也就是说 $B_{\delta }(z_{0})\subset \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$。由于这对所有 $z_{0}\in \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$ 都成立，因此 ${\mathfrak {G}}$ 是闭合的。

我们现在假设 ${\mathfrak {G}}$ 在 $\mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$ 中存在一个极限点，并证明 ${\mathfrak {G}}$ 不是闭合的。令 $z_{0}\in \mathbb {C} -{\mathfrak {G}}$ 是 ${\mathfrak {G}}$ 的一个极限点。那么，不存在 $z_{0}$ 的任何邻域包含在 ${\mathfrak {G}}$ 的补集中，因此 ${\mathfrak {G}}$ 不是闭合的。