复变函数/附录/证明/三角不等式

设 $z$ 和 $w$ 是复数。因为我们有

$|z+w|^{2}\,$	$=(z+w){\overline {(z+w)}}=(z+w)({\bar {z}}+{\bar {w}})$
	$=|z|^{2}+z{\bar {w}}+{\overline {z{\bar {w}}}}+|w|^{2}$
	$=|z|^{2}+2{\mbox{Re }}(z{\bar {w}})+|w|^{2}$
	$\leq |z|^{2}+2|z||w|+|w|^{2}$
	$=(|z|+|w|)^{2}\,$

三角不等式在对等式两边开方后成立。这里我们用到了性质

${\mbox{ Re}}(z)\leq |z|$, $|z|=|{\bar {z}}|$ 和 $z+{\bar {z}}=2{\mbox{Re }}(z)$.

此外，归纳法表明

$\left|\sum _{1}^{n}z_{k}\right|\leq \sum _{1}^{n}|z_{k}|$