复分析/柯西定理和柯西积分公式

Goursat-Pringsheim 引理

柯西定理指出，如果 $f:U\to \mathbb {C}$ 在 $U$ 上是全纯函数（$U$ 是一个星形域；我们将在下一节中精确说明这意味着什么），并且 $\gamma$ 是一个闭合曲线，其值在 $U$ 内，那么

$\int _{\gamma }f(z)dz=0$

作为证明该定理的第一步，我们将证明一个特殊情况，其中 $\gamma$ 是一个三角形；这就是 Goursat-Pringsheim 引理。Goursat 最初提出了这个想法，但 Pringsheim 后来提出了使用三角形（而不是 Goursat 所用的正方形）的想法。

引理 6.1 (Goursat-Pringsheim):

设 $\Delta \subset U$ 是一个三角形，其中 $f:U\to \mathbb {C}$ 是全纯函数，并且三角形的内部包含在 $U$ 内。那么我们有

$\int _{\Delta }f(z)dz=0$.

证明:

任何三角形 $\Delta$ 可以被分成四个边长相等的小三角形，如图所示。每个小三角形的边长将是原始三角形边长的一半；从公式中可以清楚地看出，如果我们要使事情（更加）严格，我们就会为较小的三角形分配这些公式。我们将这四个三角形表示为 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 和 $\delta$。但是四个非负数中的一个

$\left|\int _{\alpha }f(z)dz\right|,\left|\int _{\beta }f(z)dz\right|,\left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|,\left|\int _{\delta }f(z)dz\right|$

将是最大的。然后我们设置 $\Delta _{0}:=\Delta$，$\Delta _{1}$ 为从 $\Delta _{0}$ 生成的四个较小三角形中的第一个，使得上述绝对值最大，依此类推；即，一旦 $\Delta _{n}$ 对一般 $n\in \mathbb {N} _{0}$ 定义，我们将 $\Delta _{n}$ 分解成三角形 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$，如上所述，然后定义 $\Delta _{n+1}$ 为 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ 中使上述四个值中的绝对值最大的一个。

通过这种方式，我们获得了一系列越来越小的三角形 $(\Delta _{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$。现在我们有以下引理

引理 6.2（康托尔交集定理）:

设 $K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq K_{3}\supseteq \cdots \supseteq K_{n}\supseteq \cdots$ 是位于豪斯多夫拓扑空间 $(M,d)$ 中的紧致集的递减序列。那么

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}\neq \varnothing$

证明:

在豪斯多夫拓扑空间中，紧集是闭集；事实上，令 $K$ 为这样一个紧集，并假设某个 $x\notin K$ 的邻域滤子使得其所有元素都与 $K$ 有非空交集。

因此，如果我们假设

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}=\varnothing$

我们通过德摩根定律，在$K_{1}$中取补集，得到

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(K_{1}\setminus K_{n})=K_{1}$

因此，如果我们将 $K_{1}$ 看作具有子空间拓扑的拓扑空间，那么集合 $(K_{1}\setminus K_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 就构成了 $K_{1}$ 的开覆盖。根据 $K_{1}$ 的紧致性，存在有限子覆盖 $K_{1}\setminus K_{n_{1}},\ldots ,K_{1}\setminus K_{n_{k}}$，这里不失一般性，假设 $n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}$。由于单调性，我们得到，事实上，$K_{1}=K_{1}\setminus K_{n_{k}}$，因此 $K_{n_{k}}=K_{1}$，这与假设矛盾。$\Box$

因此，我们可以得到一个点

$z_{0}\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\text{Conv}}(\Delta _{n})$

其中 ${\text{Conv}}(\Delta _{n})$ 表示 $\Delta _{n}$ 的填充三角形（即凸包）。

现在，根据假设，$f$ 可微，特别是在 $z_{0}$ 处。因此，我们可以写成

$f(z)=f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+h(z)$

其中 $h(z)\to 0$ 当 $z\to 0$ 时；实际上，我们可以设置

$h(z)={\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}-f'(z_{0})$

此外，如果我们在复平面上取任意三角形 $\Delta$ 并形成多项式在其上的曲线积分，我们将得到零；实际上，每个多项式 $p$ 都有一个原函数 $P$，它以明显的方式形成，根据第 2 章；也就是说，它与实数情况下的公式完全相同，微分公式也证实了这一点。我们可以将三角形 $\Delta$ 分解成三条线；假设 $a,b,c\in \mathbb {C}$ 是该三角形的角点，那么 $\Delta ={\overline {a,b}}+{\overline {b,c}}+{\overline {c,a}}$（$+$ 表示连接，尽管我们将在稍后考虑链时，允许在 $\cdot +\cdot$ 左右两侧使用更一般的曲线作为参数），我们将得到

${\begin{aligned}\int _{\Delta }p(z)dz&=\int \limits _{\overline {a,b}}p(z)dz+\int \limits _{\overline {b,c}}p(z)dz+\int \limits _{\overline {c,a}}p(z)dz\\&=(P\circ \gamma )(a)-(P\circ \gamma )(b)+(P\circ \gamma )(b)-(P\circ \gamma )(c)+(P\circ \gamma )(c)-(P\circ \gamma )(a)=0\end{aligned}}$

如预期。特别地，我们得到

$\int \limits _{\Delta _{n}}f(z)dz=\int \limits _{\Delta _{n}}h(z)dz$

以及根据基本估计

$2^{n}||$

但是，这个值实际上比原始积分的绝对值要大，因为我们有

$\int \limits _{\Delta _{n}}f(z)dz=\int \limits _{\alpha _{n}}f(z)dz+\int \limits _{\beta _{n}}f(z)dz+\int \limits _{\gamma _{n}}f(z)dz+\int \limits _{\delta _{n}}f(z)dz$

因为积分抵消了，如图片所示，因此根据三角不等式

$\left|\int \limits _{\Delta _{n}}f(z)dz\right|\leq 4\left|\int \limits _{\Delta _{n+1}}f(z)dz\right|$;

然后使用归纳法获得每个 $n$的“大于”。但由于如果绝对值小于或等于任何正值，它就为零，所以这表明了该定理。$\Box$

关于星形区域的柯西定理

现在我们准备证明关于星形区域的柯西定理。这个定理和柯西积分公式（从它推导出来）是该理论的“工作马”，我们将从这两个定理推导出全纯函数的局部理论，然后全局理论也将随之而来。

定义 6.3:

设 $U\subset \mathbb {C}$ 为开集。 $U$ 被称为 **星形** 当且仅当存在一个指定点 $z_{0}\in U$，使得对于所有 $z\in U$，线段 ${\overline {z_{0},z}}$ 完전히 포함되어 있습니다. $U$.

非正式地说，$U$ 将 “看起来像一颗星星”，中心为 $z_{0}$.

关于这些域，我们有以下引理

引理 6.4:

设 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一个全纯函数，其中 $U$ 是星形的。 那么 $f$ 在 $U$ 中有一个 *原函数*，即一个全纯函数 $F:U\to \mathbb {C}$，使得 $F'(z)=f(z)$ 在每个点 $z\in U$ 上都成立。

证明:

我们首先定义

$F(z):=\int \limits _{\overline {z_{0},z}}f(z)dz$

这将由 $U$ 的星形来明确定义，即 $f$ 必须在路径 ${\overline {z_{0},z}}$ 上定义，并且确实定义在该路径上。我们现在的论点是，这样定义的 $F$ 确实是 $f$ 的原函数。

实际上，选择任何固定的 $z\in U$。由于 $U$ 是开集，我们找到了一个（可能很小的）半径 $r>0$，使得 $B_{r}(z)$ 完全包含在 $U$ 中。

柯西积分公式

柯西积分公式乍一看有点奇怪

定理 6.6:

令 $f:U\to \mathbb {C}$ 为全纯函数，并假设 $z_{0}\in U$ 是 $U$ 中的一个点，而 $r>0$ 是一个半径，使得 ${\overline {B_{r}(z_{0})}}\subset U$。然后

对于所有 $z\in B_{r}(z_{0})$，我们有 $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{w-z}}dw$，

其中闭合轮廓 $\partial B_{r}(0)$ 是逆时针方向遍历的，例如使用参数化

$\gamma :[0,2\pi ]\to \partial B_{r}(0),\gamma (t)=z_{0}+re^{it}$

这个公式乍一看可能很奇怪，但考虑特殊情况 $z=z_{0}$ 并代入曲线积分的定义，我们可以得到它的一个特例实际上是一个平均值公式

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}dw={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{it})dt$

以下我们总是假设路径 $\partial B_{r}(z_{0})$ 是逆时针遍历的。

证明:

首先我们注意到函数

$\Phi :[0,r]\to \mathbb {C} ,s\mapsto {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+se^{it})dt$

是连续的；这是由于 $f$ 在紧集上的有界性，由控制收敛定理得出。然后我们注意到，对于任何 $s>0$，上述表达式与

${\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{s}(0)}\!{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}dw$

此外，给定 $r>s,t>0$，我们有

${\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{s}(0)}\!{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}dw-{\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{t}(0)}\!{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}dw={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}dw$

其中 $\gamma$ 是曲线

$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} ,\gamma (x)=(\delta _{1}\cdot \delta _{2})\cdot \delta _{3}={\begin{cases}\delta _{1}(x)\\\delta _{2}(x)\\\delta _{3}(x)\end{cases}}$

其中我们定义

$\delta _{1}(x):={\begin{cases}se^{{\frac {8}{3}}\pi ix}&x\leq {\frac {1}{4}}\\{\frac {x-{\frac {1}{2}}}{{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}}}se^{{\frac {2}{3}}\pi i}+{\frac {x-{\frac {1}{4}}}{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}}te^{{\frac {2}{3}}\pi i}&{\frac {1}{4}}\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\te^{{\frac {2}{3}}\pi i-{\frac {8}{3}}\pi i{\bigl (}x-{\frac {1}{2}}{\bigr )}}&{\frac {1}{2}}\leq x\leq {\frac {3}{4}}\\{\frac {x-1}{{\frac {3}{4}}-1}}\end{cases}},\quad \delta _{2}(s):={\begin{cases}\end{cases}},\quad \delta _{3}(s):={\begin{cases}\end{cases}}$

$\cdot$ 表示曲线连接。该曲线在以下图片中显示

这张图片展示了我在证明柯西积分公式时所使用的曲线。

然而，我们发现星形区域（例如半平面）包含了构成 $\gamma$ 的每个循环 $\delta _{j}$，因此，实际上

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}dw=0$

根据星形区域上的柯西定理，因此 $\Phi$ 在 $(0,r]$ 上是常数，并且根据连续性和 $\Phi (0)=f(z_{0})$，此常数必须恰好是 $f(z_{0})$。$\Box$

注意：使用类似于曲线 $\gamma$ 的构造，我们实际上得到了柯西积分公式的更一般的版本

${\displaystyle }$

现在注意到，在我们的情况下，我们可以在积分符号下进行微分，这给了我们 $f^{(n)}(z)$ （高阶导数）的公式，对于在相应球中的 $z$。实际上，我们得到

${\begin{aligned}f'(z)&={\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}dw\\f^{(2)}(z)&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}dw\\f^{(3)}(z)&={\frac {1}{6}}{\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{3}}}dw\\&\vdots \\f^{(n)}(z)&={\frac {1}{n!}}{\frac {1}{2\pi i}}\!\int \limits _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{n}}}dw\\&\vdots \end{aligned}}$

稍后，我们将从泰勒展开式（我们将计算）中推导出完全相同的公式；实际上，正如我们将展示的那样，所有全纯函数都等于它们的泰勒级数。