复分析/复可微

定义（复可微）:

设 $U\subseteq \mathbb {C} ^{n}$，设 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一个函数。设 $z\in U$。我们说 $f$ 在 $z$ 处是复可微 当且仅当存在一个 $\mathbb {C}$-线性函数 $T:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 使得

$f(w)=T(w)+o(\|z-w\|)$.

在 $n=1$ 的情况下，这个条件等价于极限存在

$\lim _{w\to z}{\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}$.

实际上，如果这个极限是 $\alpha \in \mathbb {C}$，那么上述定义中的 $\mathbb {C}$-线性映射就是乘以 $\alpha$，反之，任何线性映射 $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 仅仅是乘以 $\mathbb {C}$ 中的一个元素，它就是极限。

命题（奥斯古德引理）:

设 $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ 是一个连续函数。

柯西-黎曼方程

假设 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一个在球体 $B_{r}(z_{0})$ 内复可微的函数，其中 $z_{0}\in U$ 是 $U$ 中的一个元素，而 $r>0$ 是一个小的常数（我们将称之为“半径”）。

一个复函数可以被唯一地写成 $f(z)=u(z)+iv(z)$ 的形式，其中 $u$ 和 $v$ 是函数 $\mathbb {C} \to \mathbb {R}$。函数 $u$ 对应于 $f$ 的实部，而函数 $v$ 对应于 $f$ 的虚部，因此对于所有 $z\in U$

$u(z):=\operatorname {Re} (f(z))$，$v(z):=\operatorname {Im} (f(z))$。

由于 $f$ 假设是复可微的，所以 $h$ 从哪个方向接近 $0$ 都不应该有影响。 尤其是，$h$ 可以沿着复平面的 $x$ 轴

$\{(x,y)\in \mathbb {C} |y=0\}$

或者 $y$ 轴（定义方式类似）。

定义（柯西-黎曼方程）:

定理（柯西-黎曼方程）:

令 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一个连续可微函数，并且 $z_{0}\in U$。 那么 $f$ 是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程。

命题（全纯函数的成分满足的微分方程）:

令 $f:U\to \mathbb {C}$ 是全纯的，并且写为 $f=u+iv$，其中 $u,v:U\to \mathbb {R}$ 是实值函数。 那么我们有

$\partial _{x}^{2}u+\partial _{y}^{2}u=0$

和

$\partial _{x}^{2}v+\partial _{y}^{2}v=0$.

证明： 由柯西-黎曼方程和克莱罗定理，我们有

$\partial _{x}^{2}u=\partial _{x}\partial _{y}v=\partial _{y}\partial _{x}v=-\partial _{y}^{2}u$

和

$\partial _{x}^{2}v=-\partial _{x}\partial _{y}u=-\partial _{y}\partial _{x}u=-\partial _{y}^{2}v$. $\Box$

注意，这意味着 $u$ 是一个 调和函数。

计算规则

在实可微函数的情况下，我们有诸如链式法则、乘积法则甚至逆函数法则之类的计算规则。在复函数的情况下，实际上我们有完全相同的规则。

定理 2.2:

令 $f,g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 为复函数。

1. 如果 $f$ 和 $g$ 在 $z_{0}$ 处复可微，且 $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$，则函数 $z\mapsto \alpha f(z)+\beta g(z)$ 在 $z_{0}$ 处复可微，且 $(\alpha f+\beta g)'(z_{0})=\alpha f'(z_{0})+\beta g'(z_{0})$ (导数的线性性)
2. 如果 $f$ 和 $g$ 在 $z_{0}$ 处复可微，那么 $f\cdot g$ 也是复可微的（关于复数乘法的逐点乘积！），我们有 **乘积法则** $(f\cdot g)'(z_{0})=f(z_{0})g'(z_{0})+f'(z_{0})g(z_{0})$
3. 如果 $f$ 在 $z_{0}$ 处复可微，并且 $g$ 在 $f(z_{0})$ 处复可微，那么 $g\circ f$ 在 $z_{0}$ 处复可微，我们有 **链式法则** $(g\circ f)'(z_{0})=g'(f(z_{0}))f'(z_{0})$
4. 如果 $f$ 是双射的，在 $z_{0}$ 的邻域内复可微，并且 $f'(z_{0})\neq 0$，那么 $f^{-1}$ 在 $(f^{-1})'(f(z_{0}))={\frac {1}{f'(z_{0})}}$ （**逆函数法则**）
5. 如果 $f,g$ 在 $z_{0}$ 处可微，并且 $g(z_{0})\neq 0$，那么 $\left({\frac {f}{g}}\right)'(z_{0})={\frac {f'(z_{0})g(z_{0})-g'(z_{0})f(z_{0})}{g(z_{0})^{2}}}$ （**商法则**）

证明:

首先注意到加法和乘法的映射

$+:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

和

$\cdot :\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

是连续的；实际上，例如，令 $B_{r}(z_{0})\subset \mathbb {C}$ 为一个开球。取 $0<\epsilon \leq 1$ 使得 $B_{\epsilon }(ab)\subset B_{r}(z_{0})$。现在假设我们有

$(c,d)\in B_{\delta }(a)\times B_{\delta }(b)$,

其中 $\delta$ 稍后确定。然后我们有

$|cd-ab|=|(a+z)(b+w)-ab|=|aw+bz+wz|$,

其中 $|w|,|z|<\delta$。选取

$\delta ={\frac {\epsilon }{3\max\{1,|a|,|b|\}}}$,

我们根据三角不等式得到

$|aw+bz+wz|\leq |aw|+|bz|+|wz|<\epsilon$,

因此 $\cdot ^{-1}(B_{r}(z_{0}))$ 是开集。如果 $U\subseteq \mathbb {C}$ 是一个开集，那么 $\cdot ^{-1}(U)$ 也会是开集，因为 $U$ 是开球的并集，而函数的逆像与并集可交换。

加法的证明非常类似。

但从这两个结论可以得出，如果 $f,g$ 是这样的函数：

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=a$ 且 $\lim _{z\to z_{0}}g(z)=b$,

那么

$\lim _{z\to z_{0}}(f(z)+g(z))=a+b$

和

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)g(z)=ab$;

事实上，这是由 $+$ 和 $\cdot$ 在相应 *点* 上的连续性推导出来的。特别地，如果 $f$ 是常数（比如 $f\equiv \alpha$，其中 $\alpha \in \mathbb {C}$ 是一个固定的复数），我们会得到类似于以下的结论：

$\lim _{z\to z_{0}}\alpha g(z)=\alpha \lim _{z\to z_{0}}g(z)$.

1. 现在假设确实 $f,g:U\to \mathbb {C}$ ($U$ 是开集，因此我们在 $z_{0}$ 附近有一个邻域，并且导数的定义意味着 $h$ 趋于零的方向无关）在 $z_{0}\in U$ 可微。我们将有

$\lim _{h\to 0}{\frac {\alpha f(z_{0}+h)+\beta g(z_{0}+h)-(\alpha f(z_{0})+\beta g(z_{0}))}{h}}=\alpha \lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}+\beta \lim _{h\to 0}{\frac {g(z_{0}+h)-g(z_{0})}{h}}=\alpha f'(z_{0})+\beta g'(z_{0})$.

4. 确实让 $f:U\to V$ 是 $U$ 和 $V\subseteq \mathbb {C}$ 之间的双射，它在 $z_{0}\in U$ 的邻域内可微。根据反函数定理，$f^{-1}$ 在 $f(z_{0})$ 处是实可微的，并且根据实数的链式法则，我们有

$I_{2}=(f^{-1})'(f(z_{0}))\cdot f'(z_{0})$ ($I_{2}$ 表示 $\mathbb {R} ^{2\times 2}$ 中的单位矩阵，单撇号（例如 $f'(z_{0})$）表示函数 $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 的雅可比矩阵，视为 函数 $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，" $\cdot$" 表示矩阵乘法），

因为我们只需对函数 $f^{-1}\circ f$ 进行微分。然而，将 $\mathbb {C}$ 和 $\mathbb {R} ^{2\times 2}$ 视为 $\mathbb {R}$-代数（或环；对于我们的目的而言，这并不重要），我们有一个代数同态（或环同态）

$\Phi :\mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{2\times 2},x+iy\mapsto \left(\right)$.

此外，由于柯西

全纯函数（和亚纯函数）

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 为复平面上的开集，令 $f:U\to \mathbb {C}$ 为一个在 $U$ 上复可微的函数（也就是说，在 $U$ 的每一个点上）。那么我们称 $f$ 在 $U$ 上是 *全纯* 的。

如果 $U$ 恰好等于 $\mathbb {C}$，使得 $f$ 在每一个复数上复可微，那么 $f$ 被称为 **整函数**。我们将在三角函数章节中看到整函数的例子，其中指数函数、正弦函数和余弦函数扮演着核心角色。另一类重要的整函数是 *多项式*。

多项式是整函数

在代数中，人们研究多项式环，例如 $\mathbb {R} [x]$，$\mathbb {C} [z]$ 或者更一般地，$R[x]$，其中 $R$ 是一个环（然后有一些定理可以“提升” $R$ 的性质到 $R[x]$，例如，如果 $R$ 是一个整环、唯一分解整环或诺特环，那么 $R[x]$ 也是一个整环、唯一分解整环或诺特环）。

现在 $\mathbb {C} [z]$ 的所有元素都是整函数。这是这样看到的：

类似于实分析（证明完全相同），函数 $z\mapsto z^{n}$ 是复可微的。因此，任何多项式

$p(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ ($a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C}$ 为复系数，即常数)

根据线性关系，它是复可微的。

我们也可以定义 $\mathbb {Q} (i)$，它是 $\mathbb {Q}$ 在 $\mathbb {C}$ 中的扩展。事实证明，该扩展等于

$\{x+iy|x,y\in \mathbb {Q} \}$.

由此，产生一个多项式环 $\mathbb {Q} (i)[z]$。现在令 $K\subseteq \mathbb {C}$ 为复平面上的任何紧集，甚至是有界集。然后，通过直接论证，可以很容易地看出，关于一致收敛拓扑，$\mathbb {Q} (i)[z]$ 在 $\mathbb {C} [z]$ 中是稠密的。或者，可以发现

练习

1. 证明，只要 $f,g:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 是全纯的，那么 ${\bar {\partial }}(f_{k}\circ g)=\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial z_{l}}}{\frac {\partial g_{l}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}+\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {\bar {z}}_{l}}}{\frac {\partial {\bar {g}}_{l}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}$