复变函数/复可微、全纯、柯西-黎曼方程

复平面上的开集

由于复数 $\mathbb {C}$ 不过是 $\mathbb {R} ^{2}$ 具有乘法结构，开集的概念从 $\mathbb {R} ^{2}$ 迁移到 $\mathbb {C}$。因此，我们认为一个集合 $O\subseteq \mathbb {C}$ 是开集当且仅当 $O$ 作为 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子集是开集（即，在每个点 $z_{0}\in O$ 周围存在一个以 $z_{0}$ 为中心的球体，该球体完全包含在 $O$ 中）关于欧几里得范数（或任何其他范数，由于范数等价性）。

复可微性

回想一下，一个函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在 $x_{0}$ 处可微，当且仅当极限

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

存在，在这种情况下，导数 $f'(x_{0})$ 被定义为该极限的值。通过类比，我们可以推断出类似的定义，用于函数 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

定义 2.1:

设 $O\subseteq \mathbb {C}$ 为开集，设 $f:O\to \mathbb {C}$ 为一个函数。设 $z_{0}\in O$。我们说 $f$ 在 $z_{0}$ 处 **复可微** 当且仅当

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$,

这里 $h$ 是 复数，并且存在，在这种情况下，我们用 $f'(z_{0})$ 来简化表示该极限。如果函数在其所有定义域（在本例中为 $O$）上处处复可微，我们说 $f$ 是 **全纯函数**。

导数在以下意义上是线性的

定理 2.3:

由于复数是 $(x,y)$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的一个元组，映射 $f:O\to \mathbb {C}$ 等同于映射 $f:\mathbb {R} ^{2}\supset O\to \mathbb {R} ^{2}$。 $f$ 在某一点处的复可微性意味着它的实可微性，即方向导数存在。事实上，我们将在后面证明，在全纯的情况下，甚至 $f$ 的连续可微性（即偏导数存在）也将随之而来，因此，我们有一个雅可比矩阵，它等于 $f$ 的微分。但是，反过来不成立：如果 $f\in {\mathcal {C}}^{1}(O,\mathbb {R} ^{2})$ 在实数意义上（即，将 $f$ 视为一个映射 $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$：所有偏导数都存在且连续），我们还不知道 $f$ 是否全纯。下一节将对此进行精确说明。

柯西-黎曼方程

如果 $f\in {\mathcal {C}}^{1}$ 在实数意义上，那么存在一个精确的判据来判断 $f$ 是否复可微。这就是所谓的 *柯西-黎曼方程*。

定理 2.3:

令 $f:O\to \mathbb {R} ^{2}$ 在 $(x_{0},y_{0})$ 处连续可微，即所有偏导数都存在且连续，且都存在于 $(x_{0},y_{0})$ 处。那么 $f$ 作为 $O\to \mathbb {C}$ 的函数在 $z_{0}:=x_{0}+iy_{0}=(x_{0},y_{0})$ 处复可微当且仅当满足 **柯西-黎曼方程**，由

${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}$ 以及 ${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$ 给出，

其中 $f=(f_{1},f_{2})=f_{1}+if_{2}$.

证明:

对于整个证明，需要注意的是，如果 $h=(h_{1},h_{2})$，则 $|h|=\|h\|=\|(h_{1},h_{2})\|$ 对于 $h\in \mathbb {C}$.

如果 $f$ 在 $z_{0}=(x_{0},y_{0})$ 处连续可微，则

$f(z_{0}+h)=f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(z_{0})+J_{f}(z_{0})h+r(h)$, $r(h)\in o(\|h\|)$,

其中 $r(h)\in o(\|h\|)$ 表示 $\lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{\|h\|}}=0$。因此，在这种情况下，

${\begin{aligned}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}&={\frac {J_{f}(z_{0})h+r(h)}{h}}\\&={\frac {h_{1}-ih_{2}}{|h|^{2}}}J_{f}(z_{0})h+{\frac {r(h)}{h}}\\&={\frac {h_{1}-ih_{2}}{\|h\|^{2}}}{\begin{pmatrix}\partial _{x}f_{1}&\partial _{y}f_{1}\\\partial _{x}f_{2}&\partial _{y}f_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {r(h)}{h}}\\&={\frac {h_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{1}+h_{2}\partial _{y}f_{1})+h_{2}(h_{1}\partial _{x}f_{2}+h_{2}\partial _{y}f_{2})+i\left[h_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{2}+h_{2}\partial _{y}f_{2})-h_{2}(h_{1}\partial _{x}f_{1}+h_{2}\partial _{y}f_{1})\right]}{\|h\|^{2}}}+{\frac {r(h)}{h}}.\end{aligned}}$

如果柯西-黎曼方程成立，我们可以用 $\partial _{x}f_{1}$ 替换 $\partial _{y}f_{2}$，并用 $-\partial _{y}f_{1}$ 替换 $\partial _{x}f_{2}$ 在后一个表达式中，得到

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\partial _{x}f_{1}-i\partial _{y}f_{1}$

(从而我们也得到了复导数的另一个公式)。另一方面，如果极限

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

存在，那么我们特别可以自由地选择 $h=(h_{1},0)$ 对于实数正数 $h_{1}>0$ 得到

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\lim _{|h|\to 0}{\frac {h_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{1})+ih_{1}(h_{1}\partial _{x}f_{2})}{\|h\|^{2}}}=\partial _{x}f_{1}+i\partial _{x}f_{2}$

类似地，$h=(0,h_{2})$ 对于实数正数 $h_{2}>0$ 得到

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\lim _{|h|\to 0}{\frac {h_{2}(h_{2}\partial _{y}f_{2})-ih_{2}(h_{2}\partial _{y}f_{1})}{\|h\|^{2}}}=\partial _{y}f_{2}-i\partial _{y}f_{1}$

因此，满足柯西-黎曼方程。 $\Box$

复导数法则

对于通常的实数导数，存在一些规则，例如乘积法则、链式法则、商法则和逆法则。幸运的是，这些规则可以逐字应用于复数导数，甚至证明也保持一致（尽管为了完整性，我们将重复它们）。

定理 2.4（链式法则）:

令 $f:O\to \mathbb {C}$ 在 $z_{0}$ 处复可微，并令 $g:U\to \mathbb {C}$ 在 $f(z_{0})$ 处复可微（这意味着 $f(z_{0})$ 必须在 $U$ 内）。那么 $g\circ f$ 在 $z_{0}$ 处复可微，并且

$(g\circ f)'(z_{0})=g'(f(z_{0}))f'(z_{0})$.

证明:

设置

$Q(w):={\begin{cases}{\frac {(g\circ f)(w)-(g\circ f)(z_{0})}{f(w)-f(z_{0})}}&f(w)\neq f(z_{0})\\g'(f(z_{0}))&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

那么

$\lim _{h\to 0}{\frac {(g\circ f)(z_{0}+h)-(g\circ f)(z_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}Q(z_{0}+h){\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=g'(f(z_{0}))f'(z_{0})$

根据$f$在$z_{0}$处的连续性（可以通过将复微分的极限定义乘以$h$并观察到极限由极限的乘法性等于$0$来轻松证明）。$\Box$

定理 2.5（乘积法则）:

令$f,g:O\to \mathbb {C}$ 是在$z_{0}$处复微分的复函数。那么乘积函数$fg:z\mapsto f(z)g(z)$ 在$z_{0}$处复微分，并且

$(fg)'(z_{0})=f(z_{0})g'(z_{0})+g(z_{0})f'(z_{0})$.

证明:

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)g(z_{0}+h)-f(z_{0})g(z_{0})}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)g(z_{0}+h)-f(z_{0})g(z_{0}+h)+f(z_{0})g(z_{0}+h)-f(z_{0})g(z_{0})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}g(z_{0}+h){\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}+f(z_{0})g'(z_{0}).\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.6（商法则）:

假设 $f,g:O\to \mathbb {C}$ 在 $z_{0}$ 处复可微，且 $g(z_{0})\neq 0$。根据 $g$ 的连续性，函数 ${\frac {f}{g}}$ 在 $z_{0}$ 附近的小球上存在。那么它在 $z_{0}$ 处复可微，导数等于

$\left({\frac {f}{g}}\right)'(z_{0})={\frac {f'(z_{0})g(z_{0})-f(z_{0})g'(z_{0})}{g(z_{0})^{2}}}$.

证明:

函数$\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} \setminus \{0\},z\mapsto {\frac {1}{z}}$的导数由$z\mapsto -{\frac {1}{z^{2}}}$给出；因为

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{-1}-z^{-1}}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {}{}}\end{aligned}}$

因此，乘积法则和链式法则暗示

${\begin{aligned}\left({\frac {f}{g}}\right)'(z_{0})&=\left(f{\frac {1}{g}}\right)'(z_{0})\\&=f'(z_{0}){\frac {1}{g(z_{0})}}+f(z_{0})\left({\frac {1}{g}}\right)'(z_{0})\\&=f'(z_{0}){\frac {1}{g(z_{0})}}-f(z_{0}){\frac {1}{g(z_{0})^{2}}}g'(z_{0}).\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.7（反函数法则）:

假设$f:O\to O$是一个在$z_{0}$处复可微的双射函数。那么$f^{-1}$在$f(z_{0})$处复可微，并且

${\displaystyle }$.

证明:

多项式的导数

定理 2.8:

令 $n\in \mathbb {N}$. 则在任何 $z\in \mathbb {C}$ 处，$f(z)=z^{n}$ 的导数为：

$f'(z)=nz^{n-1}$.

证明:

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}h^{n-k}-z^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {z^{n}-z^{n}+hnz^{n-1}+\sum _{k=0}^{n-2}{\binom {n}{k}}z^{k}h^{n-k}}{h}}=nz^{n-1}\end{aligned}}$

根据二项式定理。 $\Box$

由于复导数的线性性，我们现在可以计算任何多项式的复导数，即使它具有复系数。

$p(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\Rightarrow p'(z)=na_{n}z^{n-1}+\cdots +2a_{2}z+a_{1}$.

练习

1. 计算多项式 $p(z)=5z^{4}+2z+3\cdot 10^{20}$ 的复导数。