复分析/复数

复数域

历史上，人们观察到方程 $x^{2}=-1$ 对实数 $x$ 来说没有解（因为 $x^{2}\geq 0$ 对所有 $x\in \mathbb {R}$ 都成立）。由于数学家希望解决这个方程，他们定义了一个称为虚数单位的数 $i$，使得 $i^{2}=-1$。当然，不存在这样的数。但如果我们将二元组 $(a,b)$ 写成 $a+ib$，其中 $a,b\in \mathbb {R}$，并使用计算规则 $i^{2}=-1$ 对这些二元组进行计算，也就是说，

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$ 以及 $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$

(其中我们已经将一个二元组写成 $(x,y)$ 的形式，$x+iy$，我们将在本书中一直使用这种形式)，那么所有具有这种加法和乘法的二元组的集合构成一个域。实际上，可交换环的必要公理很容易验证，并且 $x+iy$ 的逆元，$x$ 和 $y$ 不全为零，由下式给出

$(x+iy)^{-1}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}$,

可以通过直接计算来验证。

定义 1.1:

复数是一个实数的二元组 $(a,b)$，写成 $a+ib$，其中 $a$ 称为该数的实部，$b$ 称为虚部。复数域，记为 $\mathbb {C}$，是所有此类数的集合，以及加法

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$

和乘法

$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

绝对值，共轭

对于每个复数，我们可以如下定义其绝对值：复数 $z=x+iy$ ($x,y\in \mathbb {R}$) 实际上是一个二元组 $(x,y)$，因此它也是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的元素。现在在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，我们有欧几里得绝对值，即

$\|(x,y)\|_{2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$,

因此，我们只需要定义

定义 1.2:

复数 $z=x+iy\in \mathbb {C}$ 的绝对值定义为

$|z|:={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

需要注意的是，复数的绝对值的绝对值始终是实数，因为根函数将 $\mathbb {R} _{\geq 0}$ 中的任何元素映射到 $\mathbb {R}$ （实际上是映射到 $\mathbb {R} _{\geq 0}$）。

对于每个复数 $z=x+iy$ ($x,y\in \mathbb {R}$)，我们还定义了一个不同的量，它是将 $z$ 沿第一轴反射得到的

定义 1.3:

给定一个复数 $z=x+iy\in \mathbb {C}$。则 $z$ 的 **共轭复数**，记为 ${\overline {z}}$，定义为

${\overline {z}}:=x-iy$.

也就是说，第二个分量改变了符号；如果用精确的术语来说，$z=(x,y)$，那么${\overline {z}}=(x,-y)$.

我们观察到

定理 1.4:

令两个复数$z=x+iy,w=a+ib\in \mathbb {C}$ 给定。那么

${\overline {zw}}={\overline {z}}{\overline {w}}$.

证明:

${\overline {zw}}={\overline {xa-yb+i(xb+ya)}}=xa-yb-i(xb+ya)$

并且

${\overline {z}}{\overline {w}}=(x-iy)(a-ib)=ax-yb-i(xb+ya)$.$\Box$

用这个符号，我们可以用$z$ 来写一个复数$z=x+iy$ 的绝对值，而不必参考$x$ 或 $y$

定理 1.5:

令复数$z=x+iy\in \mathbb {C}$ 给定。那么

$|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$.

这里并置表示乘法，如通常一样（尽管在本例中为复数乘法）。

证明:

${\sqrt {z{\overline {z}}}}={\sqrt {(x+iy)(x-iy)}}={\sqrt {x^{2}-(iy)^{2}}}={\sqrt {x^{2}-i^{2}y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=|z|$.$\Box$

由此可知，绝对值具有以下重要性质：

推论 1.6:

设 $z,w\in \mathbb {C}$ 是复数。那么

$|zw|=|z||w|$.

证明:

$|zw|={\sqrt {zw{\overline {zw}}}}={\sqrt {zw{\overline {z}}{\overline {w}}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}}{\sqrt {w{\overline {w}}}}=|z||w|$

根据定理 1.4 和 1.5。注意平方根中的参数始终是实数。$\Box$

复平面

由于每个复数实际上都是一个二元组 $(x,y)$，$x,y\in \mathbb {R}$，所有复数 $x+iy$ 的集合可以被可视化为平面，其中 $x$ 是第一个坐标，$y$ 是第二个坐标。下图展示了这种情形

水平轴（或 $x$ 轴）表示实部，而垂直轴（或 $y$ 轴）表示虚部。

练习

1. 计算以下复数的绝对值：$3+4i$，$3+2i$，$1+{\frac {1}{2}}i$.
2. 假设$m$和$n$是自然数，可以写成两个自然数的平方和：$m=a^{2}+b^{2}$和$n=c^{2}+d^{2}$，对于某些$a,b,c,d\in \mathbb {N}$。证明乘积$m\cdot n$也可以写成两个平方的和。提示：代入$a^{2}+b^{2}=|a+ib|^{2}$（以及类似的$c,d$），并使用复数的计算规则。
3. 证明以下将复数乘法与$\mathbb {R} ^{2}$的标准标量积联系起来的关系：$\langle (a,b),(x,y)\rangle =\operatorname {Re} \left[(a-ib)(x+iy)\right]$.
4. 本练习介绍了代数中的核心概念。熟悉代数中域的概念。如果$\mathbb {F}$是一个域，那么子域$\mathbb {E} \subseteq \mathbb {F}$被定义为$\mathbb {F}$的一个子集，该子集在从$\mathbb {F}$继承的加法、乘法、减法和除法运算下封闭，并且包含元素$0$和$1$（即$\mathbb {F}$的加法和乘法的中性元素）。证明
   1. 设 $(\mathbb {E} _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是域 $\mathbb {F}$ 的子域族。证明交集 $\bigcap _{\alpha \in A}\mathbb {E} _{\alpha }$ 也是 $\mathbb {F}$ 的子域。
   2. 熟悉偏序集的概念，并证明给定域 $\mathbb {F}$ 的子域集通过包含关系（即 $\mathbb {E} \leq \mathbb {E} ':\Leftrightarrow \mathbb {E} \subseteq \mathbb {E} '$）是偏序的。证明关于该顺序，任何子域族 $(\mathbb {E} _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 都有一个最大下界。
   3. 证明域 $\mathbb {F}$ 具有最小的子域，称为素域，并确定 $\mathbb {C}$ 的素域。