复分析/轮廓积分

实区间上复值函数的积分

在微积分中，我们学习了如何积分（例如，连续）函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在有限区间 $[a,b]$ 上。现在如果我们要积分的函数 $f$ 的值在复数中（即 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$）？答案很简单。我们用公式 $f(x)=\operatorname {Re} f(x)+i\operatorname {Im} f(x)$ 来分解 $f$，并将积分定义如下

定义 4.1:

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ 是连续的复值函数（或者，换句话说，$\operatorname {Re} f(x)$ 和 $\operatorname {Im} f(x)$ 都可积）。那么我们设置

$\int _{a}^{b}f(x)dx:=\int _{a}^{b}\operatorname {Re} f(x)dx+i\int _{a}^{b}\operatorname {Im} f(x)dx$.

轮廓积分背后的想法

在本章中，给定一个函数 $f:O\to \mathbb {C}$，我们想要沿着可微曲线积分 $f$；粗略地说，我们想要确定当曲线像下面动画所示的那样展平时，曲线下方图形面积的度量。

我们现在想要弄清楚哪个公式可以用来获得这个度量（注意，就像在普通积分中一样，我们希望函数为负的部分从积分的值中减去，而不是加到它上面）。这个想法是近似我们想要的积分。令可微曲线 $\gamma :[0,1]\to O$ 为给定。我们选择一个特定的分解

$[0,1]=[0=t_{0},t_{1}]\cup [t_{1},t_{2}]\cup \cdots \cup [t_{n-1},t_{n}=1]$

其中$t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}$。然后我们用一个有限和来近似我们需要的积分，我们记作$\int _{\gamma }f(z)dz$，如下所示

$\int _{\gamma }f(z)dz\approx \sum _{j=0}^{n-1}(\gamma (t_{j})-\gamma (t_{j+1}))f(\gamma (t_{j}))$.

这个和式是将许多小的矩形相加，这些矩形近似地代表了积分，就像黎曼和一样。当连续$t_{j}$之间的最大距离越来越小时，我们就得到了越来越好的近似值。另一方面，

$\sum _{j=0}^{n-1}(\gamma (t_{j})-\gamma (t_{j+1}))f(\gamma (t_{j}))=\sum _{j=0}^{n-1}f(\gamma (t_{j}))\int _{t_{j}}^{t_{j+1}}\gamma '(t)dt$,

其中后面的积分收敛于

$\int _{0}^{1}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt$

当$n\to \infty$。这就是我们定义的原因

定义 4.2:

令${\mathcal {C}}^{1}$（在实数意义上）曲线$\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$（我们也称之为 **轮廓**）给出。然后我们定义$f$沿着轮廓$\gamma$的积分为

$\int _{\gamma }f(z)dz:=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt$.

实际上，在讨论循环（第 10 章）和相关内容之前，我们需要一个更一般的、但并不难多少的轮廓积分定义，即一个对分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 曲线也成立的定义。

定义 4.3:

一个函数 $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ 被称为分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 轮廓当且仅当存在分解 $[a,b]=[t_{0},t_{1}]\cup [t_{1},t_{2}]\cup \cdots \cup [t_{n-1},t_{n}]$, $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b$ 使得对于所有 $j\in \{0,\ldots ,n-1\}$ 限制

$\gamma \upharpoonright _{[t_{j},t_{j+1}]}$

是 ${\mathcal {C}}^{1}$.

轮廓积分的规则

在本节中，我们陈述并证明一些对轮廓积分成立的公式，这些公式将在后续章节中被广泛使用。

定理 4.4:

假设 $f:O\to \mathbb {C}$ 有一个原函数，即一个函数 $F:O\to \mathbb {C}$ 使得 $F$ 是全纯的，且对于所有 $z\in O$ 有 $F'(z)=f(z)$。那么对于所有分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 闭曲线 $\gamma :[a,b]\to O$，我们有

$\int _{\gamma }f(z)dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$.

定理 4.5:

轮廓积分是线性的，也就是说对于全纯函数 $f,g:O\to \mathbb {C}$，$\lambda \in \mathbb {C}$ 和分段 ${\mathcal {C}}^{1}$ 闭曲线 $\gamma :[a,b]\to O$，我们有

$\int _{\gamma }(f(z)+\lambda g(z))dz=\int _{\gamma }f(z)dz+\lambda \int _{\gamma }g(z)dz$.