复分析/曲线和轮廓积分

复积分

定义 4.1:

令 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一个测度空间（即，$\Omega$ 是一个集合，${\mathcal {F}}$ 是一个 $\sigma$-代数，$\mu$ 是 ${\mathcal {F}}$ 中集合的测度），并令 $f:\Omega \to \mathbb {C}$ 是一个复值函数。我们写作 $f(z)=u(z)+iv(z)$，其中 $u$ 和 $v$ 是函数 $\Omega \to \mathbb {R}$（即，$\Omega$ 上的实值函数）。我们假设 $u$ 和 $v$ 都是可积的。然后我们定义（对于可测量的 $E\subset \Omega$）

$\int _{E}f(z)dz:=\int _{E}u(x)dx+i\int _{E}v(x)dx$

现在对于取值为 $\mathbb {R}$ 的函数的积分，我们有像富比尼定理或支配收敛定理之类的定理。我们将能够以一种简单的方式将它们应用到复数情况。

定理 4.2:

令 $f:\Omega \to \mathbb {C}$ 是一个复函数。那么

$\int _{E}f(z)dz$

存在当且仅当（实）积分存在

$\int _{E}|f(z)|dz$

存在。

证明:

首先假设

$\int _{E}|f(z)|dz$

存在。 由于 $|x+iy|\geq |x|$ 且 $|y|$ 对于实数 $x,y\in \mathbb {R}$ 成立，因此这两个积分

$\int _{E}|u(x)|dx$ 和 $\int _{E}|v(x)|dx$

存在，因此根据定义，积分

$\int _{E}f(z)dz$.

现在假设

$\int _{E}f(z)dz$

存在。 这意味着

$\int _{E}u(x)dx$ 和 $\int _{E}v(x)dx$

因此

$\int _{E}|u(x)|dx$ 和 $\int _{E}|v(x)|dx$

存在，积分

$\int _{E}\left(|u(z)|+|v(z)|\right)dz$,

也存在，只需将这两个积分相加即可。（注意，我们可以任意命名积分变量。） 但是，由三角不等式可知， $|f(z)|\leq |u(z)|+|v(z)|$，因此积分

$\int _{E}|f(z)|dz$

存在。 $\Box$

定理 4.3（富比尼）:

设 $E\subset \Omega$ 可测（即 $E\in {\mathcal {F}}$） 且设 $(\Omega ',{\mathcal {F}}',\mu ')$ 为另一个测度空间。 此外，如果 $F\subset \Omega '$ 可测，则对于 $f:E\times F\to \mathbb {C}$，我们有

$\int _{E}\int _{F}f(z,w)dwdz=\int _{E\times F}f(z,w)d(z,w)=\int _{F}\int _{E}f(z,w)dzdw$,

假设三个积分中的一个

$\int _{E}\int _{F}|f(z,w)|dwdz$, $\int _{E\times F}|f(z,w)|d(z,w)$, $\int _{F}\int _{E}|f(z,w)|dzdw$

具有有限值。

定理 4.4（支配收敛定理）:

假设 $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C}$ 是一个复值函数序列，它逐点收敛到函数 $f:\Omega \to \mathbb {C}$，则如果存在函数 $g:\Omega \to \mathbb {R}$ 使得 $\forall \omega \in \Omega :\forall n\in \mathbb {N} :|g(\omega )|>|f_{n}(\omega )|$ 并且还有 $\forall \omega \in \Omega :|f(\omega )|<|g(\omega )|$，那么我们有

$\int _{\Omega }f_{n}(\omega )d\mu (\omega )\to \int _{\Omega }f(\omega )d\mu (\omega )$

当 $n\to \infty$ 时。（使用这种测度理论符号可能更合适。）

关于将测度理论中关于函数 $\Omega \to \mathbb {R}$ 的定理推广到函数 $\Omega \to \mathbb {C}$ 的一个例外是单调收敛定理，因为它依赖于实数的序结构。我想到的唯一可以做到这一点的方法是，给定函数序列的实部和虚部以单调的方式收敛的情况。这将留作练习。

曲线、路径和轮廓

令 $I\subseteq \mathbb {R}$ 为一个有界闭区间（即，存在两个实数 $a,b\in \mathbb {R}$，$a<b$，使得 $I=[a,b]$，$I=[a,b)$，$I=(a,b]$ 或 $I=(a,b)$）。

在 ${\mathcal {C}}$ 中，曲线仅仅是一个连续函数 $\gamma :I\to \mathbb {C}$。路径则是一条曲线，其中区间是单位区间 $[0,1]$。被称为路径是因为当 $x$ 在区间 $[0,1]$ 上移动时，相应的点 $\gamma (x)$ 将会沿着复平面移动，并从点 $\gamma (0)\in \mathbb {C}$ 到点 $\gamma (1)\in \mathbb {C}$ 走出一条“路径”。

轮廓 是曲线（但不一定是路径），它具有分段光滑的性质。也就是说，映射$\gamma :I\to \mathbb {C}$ 是一个轮廓当且仅当我们有实数$x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ 使得$a=x_{1}<\ldots <x_{n}=b$ 并且限制$\gamma |_{(x_{j-1},x_{j})}$（其中$j=1,\ldots ,n$）是光滑的。

我们在这本书中使用的曲线将都是轮廓，尽管光滑性 的假设有点过头；事实上，可微性就足够了。但大多数实际应用中出现的曲线都是光滑的，而且轮廓的定义现在已经很标准了，不能因为一本书的定义不同而改变，迫使我使用通用的定义（因为如果我不这样做，我要么必须重新定义它，这会造成与其他文本的不一致，要么我必须发明一个新词，但这样，只需要一个定理的读者就不知道它是什么，而从这本书学习复分析的人将不熟悉轮廓的常用概念）。

曲线积分

我们现在想要找到一种方法来计算以下动画中所表示的内容

也就是说，我们有一条曲线和一个连续函数，沿着曲线计算函数的值，形成由曲线和函数在该点处的函数值围成的曲面，将曲面熨在一起，然后我们想要得到面积。

我们的策略是这样的：我们将用分段线性曲线来近似曲线（我们称之为$\gamma$，尽管在图中它被称为$C$），并将分段线性曲线的片段变得越来越小，以便在极限情况下得到原始曲线。但是，在分段线性曲线的特殊情况下，我们将能够计算上面描述的曲面的面积。然后我们将取这个过程的极限，并将它定义为我们想要的面积。请注意，这个过程需要曲线是可微的，并且函数是连续的。

事实上，我们将假设$\gamma$ 的定义域是$[0,1]$；对于其他区间边界，构造将是完全类似的。

弧长参数化

轮廓积分

用分段线性曲线近似，关于参数化的定理，计算规则