考虑实值指数函数 e x p : R → R {\displaystyle exp:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 定义为 e x p ( x ) = e x {\displaystyle exp(x)=e^{x}} 。 它具有以下性质
1) e x ≠ 0 ∀ x ∈ R {\displaystyle e^{x}\neq 0\quad \forall x\in \mathbb {R} }
2) e x + y = e x e y ∀ x , y ∈ R {\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}\quad \forall x,y\in \mathbb {R} }
3) ( e x ) ′ = e x ∀ x ∈ R {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}\quad \forall x\in \mathbb {R} }
我们想要将指数函数 e x p {\displaystyle exp} 扩展到复数，使得
1) e z ≠ 0 ∀ z ∈ C {\displaystyle e^{z}\neq 0\quad \forall z\in \mathbb {C} }
2) e z + w = e z e w ∀ z , w ∈ C {\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\quad \forall z,w\in \mathbb {C} }
3) ( e z ) ′ = e z ∀ z ∈ C {\displaystyle (e^{z})'=e^{z}\quad \forall z\in \mathbb {C} }
但是 e z {\displaystyle e^{z}} 已经为 z = i θ {\displaystyle z=i\theta } 定义，并且我们有 e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } 。
