复分析/极值原理、开映射定理、施瓦兹引理

我们继续探索证明全纯函数的一般性质，这次我们有了更好的准备，因为我们已经掌握了上一章的定理。

极值原理

在某些情况下，全纯函数在其边界上取最大值或最小值。在精确描述这一点之前，我们需要一个准备性的引理。

引理 8.1:

设 $f:B_{r}(z_{0})\to \mathbb {C}$ 是一个全纯函数，其中 $r>0$ 且 $z_{0}\in \mathbb {C}$ 是任意的，并且假设它甚至满足 $|f(z)|=\alpha$ 对于一个常数 $\alpha >0$。那么 $f$ 本身是一个常数函数。

证明:

如果在 $B_{r}(z_{0})$ 中 $|f(z)|=0$，我们可以得出结论 $f(z)=0$ 在 $B_{r}(z_{0})$ 中，我们就完成了。否则，我们继续如下操作

如果 $|f(z)|$ 是常数，那么 $|f(z)|^{2}$ 也是常数。我们写 $f=f_{1}+if_{2}$。那么 $\alpha ^{2}=|f(z)|^{2}=f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2}$ 对于所有 $z\in B_{r}(z_{0})$。因此，取偏导数，我们得到

$\partial _{x}|f(z)|^{2}=f_{1}(z)\partial _{x}f_{1}(z)+f_{2}(z)\partial _{x}f_{2}(z)=0$ 以及 $\partial _{y}|f(z)|^{2}=f_{1}(z)\partial _{y}f_{1}(z)+f_{2}(z)\partial _{y}f_{2}(z)=0$.

根据柯西-黎曼方程，我们可以进一步推断

$f_{1}(z)\partial _{x}f_{1}(z)-f_{2}(z)\partial _{y}f_{1}(z)=0$ 以及 $f_{1}(z)\partial _{y}f_{1}(z)+f_{2}(z)\partial _{x}f_{1}(z)=0$,

由此可以得到（经过一些代数运算后）

$(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{x}f_{1}(z)=0$, $(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{y}f_{1}(z)=0$, $(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{x}f_{2}(z)=0$ 以及 $(f_{1}(z)^{2}+f_{2}(z)^{2})\partial _{y}f_{2}(z)=0$,

也就是说 $\partial _{x}f_{1}\equiv \partial _{y}f_{1}\equiv \partial _{x}f_{2}\equiv \partial _{y}f_{2}\equiv 0$.$\Box$

现在我们准备以以下两个定理的形式阐明极值原理。

定理 8.2（最大值原理）:

令 $f:S\to \mathbb {C}$ 是在 $S$ 内部全纯的函数。如果 $z_{M}\in O$ 使得

$f(z_{M})=\max _{z\in O}|f(z)|$,

那么要么 $z_{M}\in \partial S$，要么 $f$ 在 $z_{M}$ 的连通分量上为常数。

证明:

假设 $z_{M}\notin \partial S$，也就是说，$z_{M}\in {\overset {\circ }{S}}$。令 $\epsilon >0$ 为任意满足 ${\overline {B_{\epsilon }(z_{m})}}\subseteq {\overset {\circ }{S}}$ 的数。那么柯西积分公式表明

$f(z_{M})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\epsilon }(z_{M})}{\frac {f(z)}{z-z_{M}}}dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{M}+\epsilon e^{i\varphi })d\varphi$.

如果现在对于某个 $z\in \partial B_{\epsilon }(z_{M})$，那么由 $f$ 的连续性，$|f(z)|<|f(z_{M})|$

$\left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{M}+\epsilon e^{i\varphi })d\varphi \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z_{M}+\epsilon e^{i\varphi })|d\varphi <|f(z_{M})|$,

矛盾。因此，在整个 $|z|=\epsilon$ 上，$|f(z)|=|f(z_{M})|$，并且由于 $\epsilon$ 是任意的（只要 ${\overline {B_{\epsilon }(z_{m})}}\subseteq {\overset {\circ }{S}}$），$|f(z)|=|f(z_{M})|$ 在 $z_{M}$ 周围的一个小球内。根据引理 8.1，可知 $f$ 在那里是常数，因此恒等定理意味着 $f$ 在包含 $z_{M}$ 的整个连通分量上是常数。$\Box$

类似地，我们有

定理 8.3（最小值原理）:

令 $f:S\to \mathbb {C}$ 是在 $S$ 内部全纯的函数。如果 $z_{M}\in O$ 使得

$f(z_{m})=\min _{z\in O}|f(z)|$,

那么，会发生以下三种情况之一：

1. $z_{m}\in \partial S$,
2. $f$ 在 $z_{m}$ 的连通分量上是常数，或者
3. $f$ 在 ${\overset {\circ }{S}}$ 内有一个零点。

证明:

如果 $f$ 在 ${\overset {\circ }{S}}$ 内没有零点，链式法则意味着函数

$z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}$

在 ${\overset {\circ }{S}}$ 内是全纯的。因此，最大值原理适用，并且要么 $z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}$ 在内部没有最大值（因此 $f$ 在内部没有最小值），或者 $z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}$ 是常数（因此 $f$ 也是常数）。$\Box$

开映射定理

定理 8.4（开映射定理）

设 $f:O\to \mathbb {C}$ 为一个全纯函数。如果 $U\subseteq O$ 是一个开集，则 $f(U)$ 也是开集。

也就是说，用拓扑学家的说法，$f$ 是一个开映射。

证明:

设 $z_{0}\in U$。我们证明存在一个以 $f(z_{0})$ 为中心的球，它包含在 $f(U)$ 中。为此，我们选择（由于 $U$ 的开放性）一个 $\delta >0$ 使得 ${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\subseteq U$ 并且此外 $f(w)\neq f(z_{0})$ 在 ${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\setminus \{z_{0}\}$ 上（根据恒等定理）并设

$\epsilon :={\frac {1}{3}}\min _{z\in \partial B_{\delta }(z_{0})}|f(z)-f(z_{0})|$;

由于 $\partial B_{\delta }(z_{0})$ 是紧致的，$f$ 在这里取最小值，并且根据 $\delta$ 的选择，该最小值不等于零，这就是为什么 $\epsilon >0$。现在，对于每个 $w\in B_{\epsilon }(f(z_{0}))$，我们定义函数

${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\to \mathbb {C} ,z\mapsto f(z)-w$.

在 $z_{0}$，此函数的绝对值小于 $\epsilon$，根据 $w$ 的选择。然而，对于 $z\in \partial B_{\delta }(z_{0})$，我们有

$|f(z)-w|\geq |f(z)|-|w|>\epsilon$.

因此，最小原理意味着函数${\overline {B_{\delta }(z_{0})}}\to \mathbb {C} ,z\mapsto f(z)-w$ 在 $B_{\delta }(z_{0})$ 中有一个零点，这证明了（由于 $w\in B_{\epsilon }(f(z_{0}))$ 是任意的） $f$ 在 $B_{\epsilon }(f(z_{0}))$ 中取所有值。$\Box$

施瓦茨引理

定理 8.5（施瓦茨引理）

令 $f:B_{1}(0)\to \mathbb {C}$ 为一个全纯函数，使得

1. $\forall z\in {\overline {B_{1}(0)}}:|f(z)|\leq 1$ 并且
2. $f(0)=0$.

然后，$\forall z\in B_{1}(0):|f(z)|\leq |z|$， 此外，如果 $|f'(0)|=1$ 或 $|f(z)|=|z|$ 对于某个特定的 $z\in B_{1}(0)\setminus 0$，那么我们可以找到一个 $\lambda \in \mathbb {C}$ 使得 $f(z)=\lambda z$。

证明:

首先，我们考虑以下函数

$g(z):={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}$.

由于该映射是有界的、连续的，并且除了在 $0$ 以外的所有地方都全纯，所以根据黎曼定理，它甚至在 $0$ 处也是全纯的（在 $0$ 处的扩展必须是唯一的，这样才能满足连续性）。此外，我们有

$|f(z)|\leq 1\Rightarrow |g(z)|\leq {\frac {1}{|z|}}$

假设对于所有 $z\in B_{1}(0)$ 成立；特别地，如果 $|z|=r$，那么 $|g(z)|\leq 1/r$，因此，根据最大值原理，$|g(z)|\leq 1/r$ 也适用于 $|z|<r$。取 $r\to 1$ 得 $|g(z)|<1$ 在 $B_{1}(0)$ 中成立，因此对于 $z\in B_{1}(0)$ 有 $|f(z)|\leq |z|$。

对于第二部分，如果$|f'(0)|=1$ 或 $|f(z)|=|z|$ 对于一个 $z\in B_{1}(0)\setminus 0$，则$|g(z)|=1$ 在 $B_{1}(0)$ 内部，因此，根据最大值原理，$g$ 必须是常数，由此得出 $f(z)=f'(0)z$，也就是说，我们可以选择 $\lambda =f'(0)$.$\Box$