复分析/全纯函数的全局理论

定理（刘维尔定理）:

设 $X$ 是一个巴拿赫空间，设 $f:\mathbb {C} ^{n}\to X$ 是一个整函数。如果存在自然数 $n\in \mathbb {N}$ 和两个常数 $M,R>0$ 使得

$\forall z\in \mathbb {C} \setminus B_{R}(0):\|f(z)\|<M|z^{n}|$,

则 $f$ 是一个次数小于或等于 $n$ 的多项式。

证明 1: 首先注意到

$\lim _{w\to \infty }{\frac {|z-w|}{|w|}}=1$.

设 $z\in \mathbb {C}$ 且 $r>\max\{R,|z|\}$。那么柯西积分公式和积分的三角不等式一起意味着

$|f^{(n+1)}(z)|\leq {\frac {1}{2\pi n!}}\int _{\partial B_{r}(0)}{\frac {\|f(w)\|}{|w-z|^{n+2}}}dw\leq {\frac {C}{2\pi n!}}\int _{\partial B_{r}(0)}{\frac {1}{r^{2}}}dz$

对于某个 $C>0$。后面的表达式可以显式计算；它等于

${\frac {C}{n!r}}$,

当 $r\to \infty$ 时，它趋于零。因此，$f^{(n+1)}$ 消失，而 $f$ 是一个度数为 $\leq n$ 的多项式。 $\Box$

定理（恒等定理）:

令 $X$ 为一个巴拿赫空间，令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 为开且连通的集合，令 $z_{0}\in U$ 并且令 $f,g:U\to X$ 为 $U$ 上的两个全纯函数，使得集合 $\{z\in U|f(z)=g(z)\}$ 在 $z_{0}\in U$ 处有一个聚点。那么 $f=g$。

证明：令 $w_{0}\in U$ 为任意一点。由于全纯函数是解析的，因此函数 $f-g$ 具有幂级数展开

$(f-g)(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-w_{0})^{n}$

它在 $w_{0}$ 的一个足够小的邻域内收敛。

首先假设 $w_{0}$ 是集合 $\{z\in U|f(z)=g(z)\}$ 的一个聚点。

令 $n_{0}\in N$ 是使得 $a_{n_{0}}\neq 0$ 成立的最小自然数。 $\Box$

定理（最大值原理）:

定理（辐角原理）:

定理（罗歇定理）:

定理（赫维茨定理）:

定理（哈托格斯延拓定理）:

令 ${\vec {\epsilon }}>{\vec {\delta }}$，并令 $f:B_{\vec {\epsilon }}(0)\setminus B_{\vec {\delta }}(0)\to \mathbb {C}$ 是全纯函数，其中 $B_{\vec {\epsilon }}(0)\subseteq \mathbb {C} ^{n}$，且 $n\geq 2$。那么存在一个唯一的函数 $F:B_{\vec {\epsilon }}(0)\to \mathbb {C}$ 使得

$F|_{B_{\vec {\epsilon }}(0)\setminus B_{\vec {\delta }}(0)}=f$.

证明：由于 $n\geq 2$，我们可以选择 $B_{\vec {\epsilon }}(0)\setminus B_{\vec {\delta }}(0)$ 的如下子集

$W=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})|\epsilon _{1}-\alpha <|z_{1}|<\epsilon _{1}\wedge \forall j\in \{2,\ldots ,n\}:|z_{j}|<\epsilon _{1}\}\cup \{\}$,

其中 $\alpha >0$ 足够小。由于全纯函数的限制是全纯函数，$f$ 在 $W$ 上是全纯的。此外，$\Box$

定理（魏尔斯特拉斯准备定理）:

习题

1. 利用刘维尔定理证明每一个非常数多项式 $p\in \mathbb {C} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ 在 $\mathbb {C} ^{n}$ 中至少有一个根。（提示：考虑函数 $1/p$）。
2. 在本练习中，我们想看看将由实数幂级数给出的函数扩展到复平面上的函数的最简单的充分条件。
   1. 令 $f(x_{1},\ldots ,x_{k})=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{k}}^{\infty }a_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{k})^{\alpha }$ 为一个实系数的幂级数，它在 $\mathbb {R} ^{n}$ 原点的开邻域上绝对收敛。证明 $f$ 可以扩展到复平面原点的开邻域上的函数。
   2. 令 $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ 为一个幂级数，使得对于所有 $n\in \mathbb {N}$ $b_{n}$ 是实数且为正数。进一步假设 $g$ 收敛于所有 $x\in \mathbb {R}$，使得 $|x|<R$，其中 $R>0$ 是一个实数。证明 $g$ 可以扩展到 $B_{R}(0)\subset \mathbb {C}$ 上的解析函数。
   3. 证明前两个子练习中考虑的扩展是唯一的。
3. 令$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 为一整函数，并令$0\leq \alpha <1$，$k\in \mathbb {N}$ 以及$C>0$ 使得$\forall z\in \mathbb {C} :|f(z)|\leq C(1+|z|^{k+\alpha })$。证明$f$ 是一个度数为$\leq k$ 的多项式。