复分析/全纯函数局部理论

命题（全纯函数在其定义域上具有收敛的泰勒展开式）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 为开集，并令 $f:U\to \mathbb {C}$ 为全纯函数。令 $z_{0}\in U$。那么存在泰勒级数的系数 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$，使得只要 ${\overline {B_{r}(z_{0})}}\subseteq \mathbb {C}$ 是半径为 $r>0$ 的球，且包含于 $U$ 中，那么泰勒级数

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

在 ${\overline {B_{r}(z_{0})}}$ 上绝对收敛，且等于 $f(z)$。

证明: 根据柯西公式，我们有

$f(z)=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z}}dw$.

添加一个零，我们可以将其改写为

$f(z)=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z_{0}-z-z_{0}}}dw$.

进一步计算，并使用模为 $<1$ 的参数的几何级数的收敛性，

${\begin{aligned}f(z)&=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z_{0}-z-z_{0}}}dw\\&=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}{\frac {1}{w-z_{0}}}dw\\&=\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}\right)^{n}dw\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}dw} _{=:a_{n}}(z-z_{0})^{n};\end{aligned}}$

这里，交换微分和积分 由先前表达式的绝对收敛来证明。 $\Box$

定理（恒等式定理）:

令 $U\subseteq \mathbb {C}$ 为开集，令 $f,g:U\to \mathbb {C}$ 为定义在 $U$ 上的两个全纯函数。假设点 $z_{0}\in U$ 是集合 $\{z\in U|f(z)=g(z)\}$ 的聚点。那么对于 $U$ 中 $z_{0}$ 所在的连通分量中的所有 $z$，都有 $f(z)=g(z)$。

证明：我们分别展开 $\Box$

定理（黎曼关于可去奇点的定理）:

令 $f:U\to \mathbb {C}$ 是一个在 $U\setminus \{z_{0}\}$ 上全纯的函数，对于某个 $z_{0}\in U$，并且在 $z_{0}$ 附近的球（或圆盘）中是有界的，例如 $B_{r}(z_{0})\subseteq U$，其中 $r>0$ 只是那个小球的半径。然后我们将在 $z_{0}$ 点上找到一个值 $w_{0}$，使得如果我们将 $f$ 扩展到 $w_{0}$ *在点 $z_{0}$*，结果将是全纯的。

证明： 我们定义一个新的函数

$g:U\to \mathbb {C} ,h(z)={\begin{cases}(z-z_{0})^{2}f(z)&z\neq z_{0}\\0&z=z_{0}\end{cases}}$

并断言它在 $U$ 上是全纯的。它将在 $U\setminus \{z_{0}\}$ 中 *“根据乘积法则”*（这里应该包括复可微函数的乘积是复可微的陈述）可微，而在 $z_{0}$ 中我们有

$\lim _{g\to 0}{\frac {g(z_{0}+h)-g(z_{0})}{h}}={\frac {h^{2}(f(z_{0}+h)-f(z))}{h}}=0$

因为 $h$ 是有界的。

现在我们将 $h$ 展开成关于 $z_{0}$ 的泰勒级数。但它的前两个系数为零，因此 $h$ 可被 $(z-z_{0})^{2}$ 整除，得到一个幂级数，而这个幂级数将定义一个关于 $z_{0}$ 的全纯函数。但根据 $h$ 的定义，这个级数与 $f$ 在除 $z_{0}$ 以外的所有地方都一致，因此如果用级数的常数项在 $z_{0}$ 处对 $f$ 进行延拓，结果将是全纯的，从而得到所需的延拓。 $\Box$

光滑性，可积性