复分析/亚纯函数与黎曼球面

定义（奇点）:

设 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一个开子集，设 $z_{0}\in U$ 且 $f\in H(U\setminus \{z_{0}\})$ 。如果 $f$ 在 $z_{0}$ 的任何邻域内都是无界的，那么（且仅当） $z_{0}$ 称为 $f$ 的 **奇点**。

定义（极点）:

设 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一个开子集，设 $z_{0}\in U$ 且 $f\in H(U\setminus \{z_{0}\})$ 。如果 $z_{0}$ 是 $f$ 的一个奇点，但存在一个 $n\in \mathbb {N}$ 使得函数

U\ni z\mapsto (z-z_{0})^{n}f(z)

在 $z_{0}$ 的邻域内是有界的（因此根据黎曼可去奇点定理，它可以在 $U$ 的整个区域内全纯延拓）。那么（且仅当）， $z_{0}$ 被称为 $f$ 的极点。

定义（阶）:

设 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一个开子集，设 $z_{0}\in U$ ，最后设 $f\in H(U\setminus \{z_{0}\})$ 。如果 $z_{0}$ 是 $f$ 的一个极点，来自极点定义的自然数 $n$ 被称为极点 $z_{0}$ 的阶。

定义（本性奇点）:

本性奇点是指不是极点的奇点。

定义（亚纯函数）:

设 $U$ 是 $\mathbb {C}$ 的一个开子集，设 $E\subset U$ 是离散的，设 $f\in H(U\setminus E)$ 。当且仅当 $E$ 的至少一个元素是 $f$ 的极点，并且 $E$ 的所有元素要么是 $f$ 的极点，要么是 $f$ 的奇点，我们称 $f$ 是 $U$ 上的亚纯函数。

定理（带洞球内的洛朗展开存在唯一性）:

定理（穿孔球内 Laurent 展开式存在唯一性）:

定理（开集内 Laurent 展开式存在唯一性）:

定理（Marty 定理）:

函数族 ${\mathcal {F}}:\mathbb {C} \to S^{2}$ 是正规的当且仅当对于任意的序列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 ${\mathcal {F}}$ 中，序列 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 或序列 $(1/f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 包含一个子序列，该子序列一致收敛到一个全纯函数。

证明：首先假设 ${\mathcal {F}}$ 是正规的。则存在常数 $M>0$ 使得

\forall f\in {\mathcal {F}}:\forall z\in \mathbb {C} :{\frac {|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}<M

.

令 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 ${\mathcal {F}}$ 中的一个序列。那么 $(|f_{n}'(z)|)_{n\in \mathbb {N} }$ 是一个有界序列，或者存在一个 $(f_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ 的子序列，使得 $\forall k\in \mathbb {N} :|f_{n_{k}}(z)|>C$ ，其中 $C>0$ 为某个常数。因为