复分析/特殊函数

定义（伽马函数）:

伽马函数是在 $\mathbb {C}$ 上是亚纯函数且由下式给出

$\Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

只要 $\Re z>0$.

命题（伽马函数插值阶乘）:

对于 $n\in \mathbb {N}$，我们有

$n!=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-t}dt$.

证明：我们使用对 $n$ 的归纳法。基本情况是 $n=1$，$\Box$

命题（伽马函数的存在性和唯一性）:

积分

$\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

只要 $\Re z>0$ 收敛，并且存在一个唯一的函数 $\Gamma$ 是 $\mathbb {C}$ 上的亚纯函数，并且满足

$\Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

只要 $\Re z>0$.

证明：首先，注意积分

$\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt$

对于 $\Re z>0$ 收敛，因为我们有估计

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }|t^{z-1}e^{-t}|dt&=\int _{0}^{\infty }t^{\Re z-1}e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{1}t^{\Re z-1}e^{-t}dt+\int _{1}^{\infty }t^{\Re z-1}e^{-t}dt\\&\leq \int _{0}^{1}t^{\Re z-1}dt+\int _{1}^{\infty }t^{k}e^{-t}dt,\end{aligned}}$

其中 $k\in \mathbb {N}$ 足够大。第一个积分的值为

$\int _{0}^{1}t^{\Re z-1}dt=\left[{\frac {t^{\Re z}}{\Re z}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{\Re z}}$,

而第二个积分 小于 $k!$。 $\Box$