复分析/紧开拓扑

${\mathfrak {S}}$-收敛和定义

关于${\mathfrak {S}}$-收敛的内容需要布尔巴基的一般拓扑书籍中所讲的统一结构的知识。理解这个概念对于理解本书中的其他内容是不必要的。

设$S$是任何集合，$X$是统一空间。设$A\subset S$是$S$的子集。我们考虑从$S$到$X$的函数集合；我们可以用$X^{S}$来表示它。假设我们给定$X$的邻域$V$。然后我们可以定义所有函数对$(f,g)$的集合，它们包含在集合$X^{S}\times X^{S}$中，并且具有以下性质：对于所有$x\in A$，我们有$(f(x),g(x))\in V$；这个集合将用

$W(A,V)$.

事实上，随着 $V$ 在 $X$ 的基本邻域系中变化，集合 $W(A,V)$ 构成了 $X^{S}$ 上的基本邻域系，由相应的均匀结构诱导的拓扑被称为在 $A$ 上的一致收敛拓扑。

现在假设我们有一个 $X$ 的子集族 $(A_{i})_{i\in I}$；按照惯例，我们将它称为 ${\mathfrak {S}}:=\{A_{i}|i\in I\}$。对于每个 $i$，我们可以像上面一样形成 $A_{i}$ 上的一致收敛拓扑；对于每个 $i$ 将在 $X^{S}$ 上产生一个拓扑。然后我们可以形成这些拓扑的最小上界拓扑；这就是所谓的${\mathfrak {S}}$-收敛拓扑。

紧开拓扑是这种结构的特例；令 $S$ 为一个拓扑空间，并取 ${\mathfrak {S}}$ 为 $S$ 的所有紧子集。在这种情况下，${\mathfrak {S}}$-收敛的拓扑被称为紧开拓扑。现在我们将它写成一种所有人都能理解的定义，即使那些不熟悉一致空间的人也能理解。

定义 7.1:

正规族

定义 7.2:

令 ${\mathcal {F}}$ 为一个函数族，其定义域为度量空间 $(M,d)$

一个一般的阿列-阿斯科利定理

经典的阿列-阿斯科利定理是分析中一个著名的定理。它指出，每当我们有一个定义在紧集上的有界、等度连续的函数族时，这个函数族将构成一个相对紧集