复变函数/三角学

复数指数、正弦和余弦

莱昂哈德·欧拉仔细观察了许多数学结构，并能够创造出抓住这些结构内容的理论。许多恒等式以他的名字命名，但最突出的欧拉恒等式，即$e^{i\pi }=-1$，被数学家们评为最美的数学公式。

正如莱昂哈德·欧拉所观察到的，指数函数可以在三角学中占据中心地位。在本篇阐述中，我们将首先正式定义指数函数为一个幂级数，然后通过欧拉公式定义正弦和余弦（不是右侧标题中的那个，而是包含它作为特例的更一般的公式），并论证为什么这样定义的正弦和余弦具有在学校学习的几何意义。

定义 5.1:

复数指数函数是函数

$\exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\exp(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$.

根据比值检验，该函数的收敛半径为$\infty$。因此，$\exp$ 是第 3 章结果中的一个整函数。

我们现在考虑将 $i\varphi$ 形式的数代入$\exp$ 会发生什么，其中$\varphi$ 是一个实数，我们可以选择将其视为角度（在解释层面）；这只有在稍后才会被精确定义。事实上，在这种情况下，我们得到

$\exp(i\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\varphi )^{n}}{n!}}$.

我们现在想将以上结果分成实部和虚部。为此，我们使用复数乘法的交换律，即$(i\varphi )^{n}=i^{n}\varphi ^{n}$，然后我们观察到$i^{n}$ 随着 n 的变化周期性地取值 $i,-1,-i,1$，如归纳法和使用 $i^{4}=1$ 可见。特别是，在上述级数中，奇数$n$ 将是那些对$\exp(i\varphi )$ 的虚部有贡献的项，而偶数$n$ 将是那些对$\exp(i\varphi )$ 的实部有贡献的项。因此，我们得到

${\begin{aligned}\exp(i\varphi )&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\varphi )^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n+1}}{(2n+1)!}}\end{aligned}}$

然后，我们定义

$\cos(\varphi ):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n}}{(2n)!}}$ 和 $\sin(\varphi ):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\varphi ^{2n+1}}{(2n+1)!}}$，

我们立即得到被称为欧拉公式的公式

定理 5.2（欧拉公式）:

$\exp(i\varphi )=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$

记住这个公式的方法是意识到字母 i 包含在 $\sin$ 中，因此它是 $\cos +i\sin$ （而不是，例如，$\sin +i\cos$）。

exp、sin 和 cos 的代数性质

我们现在证明 exp、sin 和 cos 函数的一些代数性质。首先，我们证明指数函数的被称为函数方程的方程（之所以这样称呼是因为指数函数，最多相差一个常数，正是方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 的解；我们通过 $f(0)=1$ 进行归一化）

定理 5.3（函数方程）:

对于 $z,w\in \mathbb {C}$，$\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)$。

证明:

${\begin{aligned}\exp(z)\exp(w)&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n-k)!}}z^{k}w^{n-k}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n!}}{\binom {n}{k}}z^{k}w^{n-k}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left(z+w\right)^{n}=\exp(z+w)\end{aligned}}$

根据二项式定理。 $\Box$

从这个定理我们可以直接推导出正弦和余弦的**加法定理**。 实际上，对于 $x,y\in \mathbb {R}$ 有

$\exp(i(x+y))=\cos(x+y)+i\sin(x+y)$.

另一方面，根据函数方程，

$\exp(i(x+y))=\exp(ix)\exp(iy)=(\cos(x)+i\sin(x))(\cos(y)+i\sin(y))=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)+i[\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)]$.

比较实部和虚部，

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ 和 $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$.

让我们用一个定理框把它框起来，因为它非常重要

定理 5.4 (加法定理):

如果 $x,y\in \mathbb {R}$，则

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$

另一个重要的推论是以下公式，它在许多分析领域中被频繁使用。

定理 5.5:

对于 $x\in \mathbb {R}$,

$\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2}=1$.

证明: 对于这个证明，我们使用“技巧” $0=x-x$。实际上，我们有

$\cos(0)=1$

从级数定义得出。因此，根据加法定理

${\begin{aligned}1&=\cos(0)=\cos(x-x)\\&=\cos(x)\cos(-x)-\sin(x)\sin(-x)\end{aligned}}$

现在我们观察到 $\sin(-x)=-\sin(x)$ 以及 $\cos(-x)=\cos(x)$; 这同样也来自幂级数定义。因此，

$1=\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)$

如所愿。$\Box$

正弦和余弦的分析性质

正弦和余弦具有一些明显的分析性质。首先，通过逐项求导级数，我们得到

$\sin '(z)=\cos(z),\cos '(z)=-\sin(z)$.

由此并通过归纳，我们可以看到 $\sin$ 和 $\cos$ 的导数周期性地循环遍历 $\sin$, $\cos$, $-\sin$ 和 $-\cos$，例如

${\begin{aligned}\sin '&=\cos \\\sin ^{(2)}&=-\sin \\\sin ^{(3)}&=-\cos \\\sin ^{(4)}&=\sin \\\sin ^{(5)}&=\cos \\&\vdots \end{aligned}}$

或者

${\begin{aligned}\cos '&=-\sin \\\cos ^{(2)}&=-\cos \\\cos ^{(3)}&=\sin \end{aligned}}$

等等。

现在正弦和余弦是连续的。此外，根据恒等式

$\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2}=1$ ($x\in \mathbb {R}$)

它们实际上在 $1$ 上有界 $\mathbb {R}$。（我们稍后会看到，这个恒等式实际上适用于 $x\in \mathbb {C}$，但这并不意味着例如 $\sin$ 在整个 $\mathbb {C}$ 上有界 $1$，因为我们通常没有 $\cos(z)^{2}>0$ 用于 $z\in \mathbb {C}$。）

出于稍后会变得清晰的原因，我们必须在此时插入凸分析中的一个定理。

定理 5.6:

令 $f:V\to \mathbb {R}$ 为凹函数，其中 $V$ 是一个实向量空间。考虑 $V$ 中由 $v\in V\setminus \{0\}$ 定义的直线。取 $x_{0}<x_{1}\in \mathbb {R}$。那么对于所有 $x>x_{1}$，我们将有 ${\displaystyle }$.

证明:

以上与三角学的联系

在学校里，人们学习正弦和余弦的常用几何意义。即，正弦是三角形对边长度除以斜边长度，余弦是三角形邻边长度除以斜边长度。

现在实际上，我们通过级数定义的 $\sin$ 和 $\cos$ 正是这些，因此，给定任意三角形中邻边和斜边之间的角 $\varphi$，值 $\sin(\varphi )$ ($\cos(\varphi )$) 等于三角形对边（邻边）长度除以斜边长度。

我们现在将严格地证明这一点。

首先，我们考虑实数 $\mathbb {R}$。加上加法，它们构成一个群，如果我们赋予 $\mathbb {R}$ 欧几里得（即标准）拓扑，这甚至是一个拓扑群，我们指的是映射

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

是连续的，其中 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 具有由我们放在 $\mathbb {R}$ 上的拓扑（在本例中，是标准（即欧几里得）拓扑）诱导的乘积拓扑。

此外，集合

$2\pi \mathbb {Z} :=\{2\pi n|n\in \mathbb {Z} \}$

构成 $\mathbb {R}$ 的加法子群。由于 $(\mathbb {R} ,+)$ 是阿贝尔群，$2\pi \mathbb {Z}$ 是 $\mathbb {R}$ 的正规子群（加法）；这个事实可以写成 $2\pi \mathbb {Z} \trianglelefteq \mathbb {R}$ （其中两个群的运算都是加法）。因此，我们可以形成商群

$\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$

并赋予它商拓扑。需要花一点时间才能理解这实际上是一个与拓扑一起的拓扑群；更一般地，我们有

定理 5.?:

令 $G$ 是一个拓扑群，$H\trianglelefteq G$。然后 $G/H$ 是具有子空间拓扑的拓扑群。