定义（复流形）:
一个复流形是 流形，其类型是某个 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 的开放子集的范畴，具有在 [[站点 Ouv ( X ) {\displaystyle \operatorname {Ouv} (X)} ]] 上的解析映射，其中 X {\displaystyle X} 是一个拓扑空间。
定理（紧连通复 T1 流形上的解析函数是常数）:
设 X {\displaystyle X} 是一个紧连通复 T 1 {\displaystyle T_{1}} 流形，设 φ : X → C {\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} } 是解析的。那么 φ {\displaystyle \varphi } 是常数。
证明：[[由于 X {\displaystyle X} 是紧致的，并且 | φ | {\displaystyle |\varphi |} 是连续的，因此 | φ | {\displaystyle |\varphi |} 在 X {\displaystyle X} 上取得最大值。]]. 令 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 为取得最大值的那一点。假设 ψ : U → V ⊆ C n {\displaystyle \psi :U\to V\subseteq \mathbb {C} ^{n}} 是一个图，满足 x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} 。那么 φ ∘ ψ − 1 {\displaystyle \varphi \circ \psi ^{-1}} 是全纯的，根据最大值原理，它是常数。因此，我们已经证明了非空集 { x ∈ X | | φ ( x ) | = max y ∈ X | φ ( y ) | } {\displaystyle \{x\in X||\varphi (x)|=\max _{y\in X}|\varphi (y)|\}} 是开的。由于 | φ | {\displaystyle |\varphi |} 是连续的，并且 X {\displaystyle X} 是 T 1 {\displaystyle T_{1}} ，它也是闭的。由于 X {\displaystyle X} 是连通的，因此它等于 X {\displaystyle X} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
