复几何/全纯流形

定义（全纯流形）:

一个全纯流形是一个可微流形，其过渡映射是全纯的。

示例（黎曼球面）:

考虑集合$\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

定理（黎曼延拓定理）:

设$M$ 是一个复流形，设$f:M\to \mathbb {C}$ 是全纯的，设$g:M\setminus Z(f)\to \mathbb {C}$ 是全纯的，使得对于所有$p\in Z(f)$ 和所有$\epsilon >0$，函数$g$ 在$B_{\epsilon }(p)\cap Z(f)^{c}$ 上是有界的。那么存在唯一的函数$G:M\to \mathbb {C}$ 扩展$g$。

练习

1. 考虑从球面到复平面的立体投影，其中球面的半径为$1$，并与复平面的零点相切。证明函数$z\mapsto 1/z$ 对应于球面绕赤道反射。