声学传输线计算

传输线作为扬声器箱体（深棕色）中扬声器（橙色）后方声音的声学通道（蓝色箭头）的示例

这本维基教科书解释了如何计算声学传输线的特性。它基于相应的德语维基教科书，并使用 www.DeepL.com/Translator（免费版）进行了广泛的翻译。

介绍

传输线（transmission line）是扬声器声学中对通道的称呼，通常会折叠多次，扬声器向后发出的声音会通过此通道。在通道的末端有一个开口，声音可以通过此开口发出。在合适的条件下，这种声音可以用来扩展和改善电动力扬声器箱体在低频端的振幅频率响应。

本书基于理想化的理论方法来处理扬声器的辐射行为，并使用准均匀吸收体的理论，探讨了如何对传输线式扬声器箱体的低频范围进行尺寸设计和声学阻尼。由于数学形式简单，因此使用了复数函数（欧拉公式）来实现。

扬声器辐射方向

电动力扬声器的振幅频率响应 $A_{0}$ ，总品质因数为 $Q$ ，固有频率为 $f_{0}$ ，理论上可以通过声频率 $f$ 计算如下

A_{0}(f)={\frac {\frac {f}{f_{0}}}{\sqrt {{\frac {1}{Q^{2}}}+\left({\frac {f}{f_{0}}}-{\frac {f_{0}}{f}}\right)^{2}}}}

.

在共振情况下 $f=f_{0}$ ，该公式简化为。

A_{0}(f_{0})=Q

然而，随着频率的增加，频率响应会再次下降，这与上述等式的表述相反，因为扬声器振膜由于其机械惯性而无法再共振。在实践中，会发生进一步的偏差，因为除 $f_{0}$ 之外，其他固有频率也会对频率响应做出微小的贡献。这些固有频率通常是由扬声器振膜的非预期振动模式引起的。

自由扬声器

如果扬声器在频率 $f$ 下工作，没有挡板或音箱，那么在点 $x=0$ （即扬声器表面）上，在时间 $t$ 内，向前发射的声波会与后面的声波发生干涉。

A_{v}=A(f,t)=A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}

以及向后辐射的声波

A_{h}=-A(f,t)=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}

其中欧拉数 $e$ ，虚数单位 $i={\sqrt {-1}}$ 和角频率 $\omega =2\pi f$ 在任何时候都是破坏性的。

A_{tot}=A_{v}+A_{h}=0

.

这意味着总振幅频率响应 $A_{tot}$ 变为零，因为两声波相互抵消。这也称为声短路。

带挡板的扬声器

如果将扬声器安装在挡板上，该挡板的宽度尽可能大于要辐射的最大声波波长，就可以避免自由扬声器的问题。然而，这种挡板通常需要非常大的尺寸。例如，在最低频率为 30 赫兹的情况下，挡板需要横向延伸数米。

A_{tot}=A_{v}=A(f,t)=A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}

其中 $A_{v}$ 代表向前辐射的声波，在本例中，它与总辐射的 $A_{tot}$ 相同。

声迷宫

另一种方法是在所谓的声迷宫中安装扬声器。这里，由扬声器向后发射的声音波的声能通过多次反射和多次散射与吸收相结合而被消散。但是，这样的声迷宫也必须非常大，以便声音能够在很大程度上被吸收。与隔板一样，缺点是扬声器向后辐射的声能没有被利用。

封闭式扬声器箱体

封闭式扬声器箱体无法实现声迷宫的理想特性。除了向前辐射的声音波 $A_{v}$ 之外，由箱体内壁反射的向后辐射的声音波 $A_{h}$ 也能通过扬声器开口逃逸。反射会导致驻波的产生，这对扬声器箱体的幅度和相位频率响应有负面影响。虽然可以通过在扬声器箱体内填充吸声材料和避免箱体壁平行排列来限制这种现象，但这种效应永远无法完全避免。此外，尤其是在低频时，声压可能非常高，导致扬声器锥体发生反馈，这与反射的声音波一样，作为非线性效应会产生负面影响。

总辐射声音波 $A_{tot}$ 是由所有声波的叠加产生的

A_{tot}=A_{v}+B(A_{h})+C(A_{h})

,

其中函数 $B(A_{h})$ 表示在扬声器箱体中被衰减和反射的声音波，而 $C(A_{h})$ 表示声音反馈导致的非线性分量。

部分通风式扬声器箱体

在所谓的部分通风式扬声器箱体中，通过一个小开口来避免高声压，这个开口用于平衡压力。如果这些扬声器箱体经过良好的阻尼，并且没有平行箱体壁，从而不会产生驻波，那么它们就代表了一种相当好的折衷方案，但这里向后辐射的声能也没有被用于声音再现。

低音反射式扬声器箱体

在低音反射式扬声器箱体中，扬声器箱体的固有频率被有意地用来放大扬声器箱体的声辐射，主要是在低频范围内。扬声器箱体有一个额外的，通常朝前的管状开口，因此它充当具有幅度函数 $B_{v}(f,t)$ 的亥姆霍兹共振器。但是，以这种方式获得均匀的频率响应是有问题的，因为通常在一个过窄的频带上会有过度的放大，结果是来自扬声器 $A_{v}$ 和来自额外开口 $B_{v}$ 的两个向前辐射的声音波可能非常不匹配。即使是低音反射式扬声器箱体，与封闭式扬声器箱体一样，也会自然地产生驻波。

因此，总辐射声音波 $A_{tot}$ 实际上是由两个声波的叠加产生的

A_{tot}=A_{v}+B_{v}

,

其中，函数 $A_{v}$ 代表向前辐射的声波，而 $B_{v}$ 代表从低音反射端口辐射出的声波。

传输线扬声器

无阻尼传输线

从扬声器向后发出的声波 $A_{h}$ 可以通过长度为 $X_{0}$ 的声学通道传导，通道末端有一个开口。这个理想的无谐振声学通道被英国布拉德福德大学的亚瑟·R·贝利称为**传输线**。从开口发出的声波 $A_{h,TL}$ 可以与扬声器向前辐射的声波 $A_{v}$ 发生干涉。对于无阻尼声学通道，干涉声波的振幅是两个分量的叠加。

A_{v}=A_{0}(f)

，就像自由扬声器一样

以及

A_{h,TL}=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}}

.

这里 $c_{0}$ 是气态声介质中的声速（在 20°C 和 60% 相对湿度下的空气中是 $c_{0}=344{\frac {m}{s}}$ ）。

因此，在扬声器前方，无阻尼的 $A_{tot,TL}$ 为

A_{tot,TL}=A_{v}+A_{h,TL}=A_{0}(f)\cdot \left(1-e^{-i\omega \cdot {\frac {X_{0}}{c_{0}}}}\right)

带阻尼的传输线

定性描述

在 20 世纪 60 年代，贝利提出了一个想法：让低音单元向后辐射的声能在一个足够长、带阻尼、末端开口的声学通道中“衰减”，并在《无线世界》杂志上发表了两篇文章描述了这一想法。阻尼是贝利设计中不可或缺的一部分。

这种低通滤波器中的阻尼、声速以及声波波长都与频率有关（色散）。频率越低或声波波长越长，阻尼就越小。高频成分被声学阻尼转化为热能，而从传输线末端出来的极低频声波，如果与所用低音扬声器直接向前发射的声波发生适当的干涉，可以改善低频的振幅频率响应。

根据这一原理制造的首批商用扬声器箱体是由位于剑桥郡的 Radford 公司（与 Bailey 合作）率先推向市场的，后来又由 IMF Electronics 和德国的 Lautsprecher Teufel 等公司推出。

从扬声器向后发射的声波在声通道中逐渐衰减，该声通道用长纤维羊毛等材料进行阻尼，但极低频率的声波可以以微弱衰减的形式离开声通道，并用于声音再现。Bailey 认为，管道长度至少应约为下限截止频率波长的四分之一，但也可以更长。它可以以各种方式弯曲或折叠，以适应传统的机箱，但应避免反射（例如，带弯曲或斜面）。

由于这种“非共振扬声器箱体”（Bailey）破坏了向后辐射的很大一部分声能，因此传输线扬声器的效率相对较低，但由于使用了强大的（晶体管）放大器，这通常不是问题。如果构建正确，传输线扬声器具有非常好的、声音中性（低）的低音再现和非常好的脉冲特性。然而，由于尺寸、重量和相对较高的制造成本，它们在长期内未能占领市场。

时长为 30 秒的低频正弦音调
10 赫兹
20 赫兹
30 赫兹
40 赫兹
50 赫兹

定量计算

下面将通过相应的声学公式，对 Bailey 基本上只定性描述的事实进行定量描述。

如果传输线用多孔纤维吸收体进行阻尼，则根据 Fridolin Peter Mechel 的准均匀吸收体理论，从传输线中出来的声波振幅 $A_{h,TL,D}$ 可以近似为

A_{h,TL,D}=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}\cdot {\sqrt {1-i\cdot {r \over {\rho _{0}\cdot \omega }}}}}

其中， $\rho _{0}$ 是气态声介质的密度（对于 20° C 的干燥空气， $\rho _{0}=1.2{{\text{kg}} \over {\text{m}}^{3}}$ ），而 $r$ 是多孔吸收材料的比流阻，单位为牛顿秒每平方米。比流阻越大，声衰减就越大。它主要取决于材料、纤维细度和密度 $\rho$ ，即吸收体的堆积密度，以及传输线中的填充程度。此外，它还取决于吸收体的均匀分布，以及纤维方向和声频率，因此下表仅给出一些多孔纤维吸收体的近似参考值

材料	空间密度	比流阻	重量效率
	$\rho$ 单位为 ${\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}$	$r$ 单位为 ${\frac {\text{Ns}}{{\text{m}}^{4}}}$	${\frac {r}{\rho }}$ 单位为 ${\frac {\text{Ns}}{\text{kg m}}}(={\text{Hz}})$
羊毛	5	4000	800
羊毛	10	8000	800
棉花	5	1000	200
棉花	10	4000	400
玻璃纤维	50	200	4
玻璃纤维板	20	1000	50
矿棉	10	600	60
矿棉	50	10000	200
铝纤维	35	500	14,3
铝纤维	70	4000	57,1

不同长度的传输线扬声器箱体的振幅频率响应 $X$ ， $A_{ges}=A_{tot}$

不同衰减的传输线扬声器箱体的振幅频率响应 $r$ ， $A_{ges}=A_{tot}$

对于整个传输线扬声器箱体，以下频率相关的振幅结果出现在带阻尼的扬声器箱体前部

A_{tot,TL,D}=A_{v}+A_{h,TL,D}=A_{0}(f)\cdot \left(1-e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}\cdot {\sqrt {1-i\cdot {r \over {\rho _{0}\cdot \omega }}}}}\right)

振幅曲线来自复函数 $A_{tot,TL,D}$ 的幅值。这必须根据低音扬声器总品质因数 $Q$ 、传输线长度 $X_{0}$ 和特定流动阻力 $r$ 进行调整，以使振幅曲线在低频尽可能平坦。相反的两个图旨在说明两个参数 $X_{0}$ 和 $r$ 对给定 $Q$ 的影响。

可以将确定的合适参数应用于传输线扬声器箱体的构造中。但是，尤其要通过实验检查阻尼是否正确，并在必要时进行校正。此外，在驱动低音扬声器和中音扬声器时，上述公式得出的振幅必须

|A_{tot,TL,D}|

和相位差

arg(A_{tot,TL,D})

在传输线系统和低音扬声器一侧与中音扬声器另一侧之间的分频频率处，通过分频器进行平衡。

传输线扬声器设计经验值

传输线扬声器箱体：低音扬声器在上，中音扬声器在下，高音扬声器在下。传输线的两个开口位于低音扬声器后方的斜边上，分别位于左右两侧。

扬声器后方传输线的横截面应至少与扬声器锥体面积一样大，甚至稍微大一些。沿着传输线，其横截面最多可以减少 25%。

低音扬声器应该具有相对较高的整体品质因数 $\left(Q\approx 1\right)$ .

具体流量阻抗的最佳值 $r$ 必须在完成的扬声器箱体中进行实验测试和调整（例如使用频率发生器或噪声发生器和频谱分析仪），因为很难估计内置在传输线中的吸收体的阻抗。

分频器用于将电信号分配到低音扬声器、中音扬声器和必要时的高音扬声器。为了避免不希望的声学效果，中音扬声器和低音扬声器之间的横向距离以及高音扬声器和中音扬声器之间的距离应尽可能小。此外，所有扬声器都应该与音箱齐平，并位于一个平面内。

传输线的出口端口可以在结构上被视为一个低音炮。

参考资料

Arthur R. Bailey: A Non-resonant Loudspeaker Enclosure Design - Using acoustic transmission line with low-pass filter characteristics, Wireless World, October 1965, p. 483-486
Arthur R. Bailey: The Transmission-line Loudspeaker Enclosure - A re-examination of the general principle and a suggested new method of construction, Wireless World, May 1972, p. 215-217
Ludwig Bergmann, Clemens Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1: Mechanik, Akustik, Wärme, 9. Auflage, de Gruyter, 1974, ISBN 978-3-1100-4861-2
Fridolin P. Mechel: Schallabsorption, Kapitel 18, in: Manfred Heckl, Helmut A. Müller: Taschenbuch der technischen Akustik, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975, ISBN 3-6429-7357-4
Hans Herbert Klinger: Lautsprecher und Lautsprechergehäuse für HiFi, Franzis-Verlag GmbH, München, 1981, ISBN 3-7723-1051-6
Heinz Sahm: HiFi-Lautsprecher, Grundlagen der elektrodynamischen Lautsprecher in unendlicher Schallwand und im Gehäuse, Franzis-Verlag GmbH, München, 1982, ISBN 3-7723-6522-1
Berndt Stark: Lautsprecher-Handbuch - Theorie und Praxis des Boxenbauens, Richard Pflaum Verlag, München, 1985, ISBN 3-7905-0433-5

项目概述

目标受众： 本维基教科书面向对声学感兴趣并具有数学基础的读者。
学习目标： 本维基教科书介绍了一种使用复数函数计算阻尼声学传输线的完整方法。它从扬声器发声和辐射的基本原理出发，逐步扩展和补充，阐明了这种传输线的运作机制。
书籍赞助商/联系人： 用户:Bautsch
目前是否需要合著者？ 是的，非常需要。可以直接在文本中更正明显的错误；内容请通过讨论进行。
合著者指南： 与维基百科类似。