圆锥曲线/圆锥曲线导论

导论

存在一类被称为圆锥曲线的曲线，它们在几个惊人的方面在概念上是相关的。这类曲线中的每个成员都具有一定的形状，并且可以被适当地分类：圆、椭圆、抛物线或双曲线。术语“圆锥曲线”可以应用于这些曲线中的任何一个，并且研究一条曲线对于研究另一条曲线来说并不是必要的。然而，它们之间的关联是数学中更有趣的巧合之一。

但关于圆锥曲线就说这么多吧。也许您更想查看数学新手和专家之间关于圆周率（ $\pi$ ）的这段简短对话。

新手：那么，什么是圆周率？
专家：圆周率是一个数学常数。它的值始终相同，大约为 3.1415926。它是无理数和超越数。
新手：很好。那么它有什么用呢？
专家：嗯，我能想到的第一件事是计算旋转曲面的体积。那是微积分。当然还有弧度制。
新手：这不是我的意思。它为什么存在？它有实际的定义吗？
专家：当然！它是圆的周长与其直径的比率。圆周率是一个数学常数，你知道的。它的值始终相同。我以为每个人都知道这一点。
新手：（讽刺地）谢谢。

这部分完全没有圆锥曲线的文字内容与圆锥曲线有一定的关联。您可能已经注意到圆周率可以由一系列数字定义，但这并不能帮助人们使用它，因为有很多数字可以用 3、1、4 和/或其他数字来定义。为什么圆周率比例如 2.7182818 更实用，为什么选择希腊字母来表示它？另一方面，任何圆锥曲线基本上都可以用一个一般方程来定义。另一方面，大多数曲线可以用一个一般方程来定义。这些方程并没有解决圆锥曲线是什么的问题，就像一串数字实际上并没有定义圆周率一样。

圆锥曲线的方程

尽管如此，这里只是一些被认为是圆锥曲线方程的示例。

$y^{2}+8y=2x+4\,$
$y^{2}=3-x^{2}\,$
$x^{2}+4y^{2}-6x+16y=171\,$
${\frac {x^{2}}{9}}-{\frac {y^{2}}{49}}=1\,$

浏览此列表揭示了一些细微的相似之处。例如，您可能会看到这些方程中只有几种类型的项。圆锥曲线是二次曲线，这意味着只使用了两个变量， $x$ 和 $y$ ，并且这些变量仅以自身或平方形式出现，并且可能乘以一个常数。圆锥曲线的一个特征是它们可以被简化，以使它们只包含这些项！（另一个项， $x$ 乘以 $y$ ，可以在旋转圆锥曲线时使用，但这目前并不相关。）

以下是一些其他圆锥曲线的方程。
$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}-16=0\,$
$(y-4)^{2}=2(x+4)\,$

y=x^{2}+4\,

3x^{2}+3y^{2}-2xy=8\,

上面最后一个方程使用了xy项，可以通过旋转消除该项。你会注意到，一些方程中包含平方二项式（例如 $(x-3)^{2}$ )。然而，这些方程总是可以简化，使得 $x^{2}$ ， $y^{2}$ ， $x$ ， $y$ 和一个常数是方程中唯一的项。这便是圆锥曲线的**一般形式**，看起来像 $Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F\,$ ，其中A、C、D、E和F是常数。

使用平方二项式是找到圆锥曲线图形信息的一种方法。二项式是任何两个项的和或差的代数表达式。 $y-4$ ， $5x^{2}-C$ 和 $ax+6$ 都是二项式。“二项式”的意思是“有两部分”，因此二项式中有两个不同的项。

圆锥曲线并没有那么不同。圆、椭圆、抛物线和双曲线都有一些特性：焦点的存在，圆锥体与平面的交集轨迹，以及偏心率的多个定义之间的联系，包括焦点间距离与顶点间距离的比率、平面的倾斜度以及曲线任意一点到焦点与准线的距离的常数比率。此外，所有圆锥曲线都是二次或更低次方程。你基本上不可能只具备其中一个特征而没有其他所有特征。

我们现在将通过圆锥曲线的定义来结束，圆锥曲线这个术语也由此而来。

圆锥曲线定义

简单来说，圆锥曲线是在圆锥体与平面相交时产生的形状。圆锥曲线主要有四种类型：抛物线、双曲线、圆和椭圆。圆有时被归类为椭圆的一种。（见下图）