圆锥曲线/椭圆

椭圆的几何定义是，一个点在平面内移动，使其到两个定点（称为焦点）的距离之和为常数（大于这两个焦点之间的距离）。它也可以定义为偏心率小于 1 的圆锥曲线。椭圆有两个准线，分别位于两侧。

椭圆的作图

当长轴水平时，椭圆的一般方程为 : ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$.
当长轴垂直时，它是：${\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1$

• 中心位于 $(h,k)$.
• 焦点位于中心沿长轴的 $c$ 距离处，其中 $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.
• 椭圆的偏心率可通过公式求得：$b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$，其中 e 是偏心率。较高的偏心率使曲线看起来更“扁平”，而偏心率为 0 时，椭圆为圆形。
• 准线是直线 $x=\pm {\frac {a}{e}}$
• 长轴的长度为 $2a$，短轴为 $2b$.
• 从每个点到每个焦点的距离之和为 $2a$.

应用

• 假设一个完美的反射椭圆，从椭圆的焦点发出的任何光线都会被反射到另一个焦点。这一特性被利用在“耳语回廊”中，在那里两个人站在一个任意大的椭圆形房间的焦点处，可以清楚地听到彼此的耳语。
• 反射特性在医学上也很有用，它被用于治疗胆结石。一台机器在一个椭圆形碗的焦点处发出声波，而患者胆结石所在的部位被放置在另一个焦点处。声波被反射并集中在结石上，使结石破碎并变小到可以从体内排出。
• 每个行星的轨道都是一个椭圆，太阳位于两个焦点中的一个 (开普勒第一定律)。太空中物体的轨道大多呈椭圆形。

参考文献

• http://www.purplemath.com/modules/ellipse.htm