圆锥曲线/抛物线

抛物线是另一个常见的圆锥曲线。抛物线的几何定义是所有点轨迹的集合，这些点到一个点（称为焦点）和一条直线（称为准线）的距离相等。换句话说，抛物线的离心率等于1。将抛物线绕其轴旋转形成的立体称为抛物面。

抛物线的图形

垂直抛物线的标准方程为$(x-h)^{2}=4a(y-k)$。

• 抛物线的对称轴是垂直于准线并经过焦点的直线，其方程为$x=h$。它也被称为对称线。
• 顶点是抛物线的“底部”，位于$(h,k)$。因此，正$k$ 将使抛物线沿其轴向上移动$k$ 个单位，而负数则会将其向下移动。无论$a$ 是正数还是负数，情况都是如此。
• $a$ 是抛物线的焦距。焦点位于$(h,k+a)$。如果$a$ 为正，则抛物线向上开口，而负$a$ 则使其向下开口。
• 准线位于$y=k-a$。

如果圆锥曲线是水平的，则它与垂直抛物线相同，只是沿着x轴而不是y轴。标准方程为：$(y-k)^{2}=4a(x-h)$。

• 抛物线的对称轴为直线$y=k$。
• 顶点位于$(h,k)$。正$k$ 将使抛物线沿其轴向右移动$k$ 个单位，而负数则会将其向左移动。无论$a$ 是正数还是负数，情况都是如此。
• 焦点位于 $(h+a,k)$。如果 $a$ 为正，则抛物线开口向右；而 $a$ 为负则开口向左。
• 准线位于 $x=h-a$。

参数方程

竖直抛物线参数方程为
$x=h+2at$
$y=k+at^{2}$
对于水平抛物线
$x=h+at^{2}$
$y=k+2at$
对于这两种形式

• 顶点位于 (h,k)
• 焦点距离顶点 $a$ 个单位，且位于长轴上。
• 抛物线上任意一点的梯度为 t，这可以通过使用链式法则对参数方程进行微分来证明。

有关如何绘制参数方程图形的信息，请参阅 圆锥曲线参数方程。

极坐标形式

抛物线的极坐标形式由 $r=-{\frac {2a}{1+cos\theta }}$给出。

应用

抛物线在日常生活中有很多用途。

• 伽利略在 16 世纪证明，以一定角度向空中发射的物体遵循抛物线的轨迹，这一发现使得弹丸的瞄准更加精确。
• 在光学中，抛物线特别有用，因为入射到抛物面镜上的平行光束都会被导向焦点，反之，放置在焦点处的光源将从镜面上反射成一系列平行光线。这使得抛物面镜在望远镜、前照灯、卫星天线等方面都很有用。
• 抛物线的另一个用途是训练宇航员。一架沿着抛物线轨迹飞行的飞机会导致乘客经历自由落体，从而产生失重状态。

参考文献

• http://www.tutorvista.com/math/parametric-equation-parabola
• http://www.nointrigue.com/docs/notes/maths/maths_parametrics.pdf