圆锥曲线/轴旋转

简介

圆锥曲线是二阶多项式。展开后，你得到一个形如：$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ 的方程。如果 $B$ 的值为零，那么圆锥曲线没有旋转，并且位于 x 轴和 y 轴上。如果 $B$ 不为零，那么圆锥曲线围绕轴旋转，旋转中心位于原点。

绘图

绘制旋转的圆锥曲线

如果你被要求绘制一个形如 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ 的旋转圆锥曲线，首先需要将其转换为相同未旋转圆锥曲线的方程。然后将其绘制到图上新绘制的轴上。未旋转圆锥曲线的方程可以找到：$AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0$。注意大写字母用于代数符号。这表明它们代表与原始方程不同的值。

为了确定 X 和 Y 的值，你使用公式

• $\tan 2\theta ={\frac {B}{A-C}}$
• $x=X\cos \theta -Y\sin \theta$
• $y=X\sin \theta +Y\cos \theta$

通过将 $x$ 和 $y$ 的新值代入原始方程，可以得到一个新的方程，它表示一个未旋转的圆锥曲线，可以绘制在相对于原始 x 轴和 y 轴以 $\theta$（逆时针）旋转的轴系上。然而，当你这样做时，仍然需要确定顶点、焦点和准线等点的新的旋转位置。这可以使用以下公式完成

• $X=x\cos \theta +y\sin \theta$
• $Y=-x\sin \theta +y\cos \theta$

其中 (X,Y) 是原始点 (x,y) 的新的旋转坐标。

公式：$B^{2}-4AC$ 可用于在开始绘图之前，从原始方程确定圆锥曲线的类型

• $B^{2}-4AC=0$: 抛物线
• $B^{2}-4AC<0$: 椭圆
• $B^{2}-4AC>0$: 双曲线

旋转圆锥曲线

如果您想将圆锥曲线旋转某个角度，$\theta$，这相对简单。您只需要从上一节中进行以下替换

• $x=X\cos \theta -Y\sin \theta$
• $y=X\sin \theta +Y\cos \theta$

将函数中的$x$和$y$值替换为这些新值。然后简化答案，它将是相同圆锥曲线围绕原点逆时针旋转$\theta$ 的函数。

参考文献

• http://www.mecca.org/~halfacre/MATH/rotation.htm
• http://www.sparknotes.com/math/precalc/conicsections/section5.rhtml