意识研究/哲学问题/附录

高斯曲面分析 - 度量张量的起源

19世纪初，人们逐渐意识到，像欧几里得平行公设这样的问题需要发展一种新的几何学，这种几何学能够处理曲面和实虚平面。这种方法的基础是高斯对曲面的分析，它允许我们在任何类型的曲面上使用各种坐标系和位移。

假设曲面上有一条线。这条线的长度可以用坐标系表示。短线段Ds在二维空间中可以用毕达哥拉斯定理表示为

Ds² =Dx ² +Dy² 假设曲面上还有另一个坐标系，有两个轴：x₁, x₂，如何用这些坐标表示线的长度？高斯解决了这个问题，对于两个坐标轴，他的分析非常简单

图1

可以使用基本微分几何来描述沿平面的位移，以曲面上的位移表示

DY =Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂

DZ =Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂

然后假设短线的位移由一个公式给出，称为度量，例如毕达哥拉斯定理

DS² =DY ² +DZ²

或者其他度量，例如4D闵可夫斯基空间的度量

DS² = -DT ² +DX² +DY² +DZ²

这种分析可以扩展到任意多个维度。然后可以根据坐标表示短长度Ds。此附录末尾给出了完整的代数分析。在3D中，长度的表达式为

Ds² =SS (dX/dxⁱ dX/dx^k +dY/dxⁱ dY/dx^k +dZ/dxⁱ dZ/dx^k)DxⁱDx^k

(对于i=1到3，k=1到3)

因此，使用指标表示法

Ds² = g_ikDxⁱDx^k

其中

g_ik = (dx/dxⁱ dx/dx^k +dy/dxⁱ dy/dx^k +dz/dxⁱ dz/dx^k)

如果坐标不合并，则Ds取决于两组坐标。在矩阵表示法中

Ds² = gDxDx

变成

Dx1 Dx2	乘以	a	b	乘以	Dx1
		c	d		Dx2

 

其中a、b、c、d代表g_ik的值。

Dx1a +Dx2c	Dx1b +Dx2d	乘以	Dx1
			Dx2

也就是

(Dx₁a +Dx₂c)Dx₁ + (Dx₁b +Dx₂d)Dx₂ =Dx₁²a + 2Dx₁Dx₂(c + b)+ Dx₂²d

所以

Ds² =Dx₁²a + 2Dx₁Dx₂(c + b)+ Dx₂²d

Ds²是双线性形式，它取决于Dx₁ 和Dx₂。它可以用矩阵表示法写成

Ds² =Dx^T ADx

其中A是包含g_ik值的矩阵。由于相同的矩阵（Dx）出现了两次，因此这是一种称为二次形式的双线性形式的特例；在广义双线性形式B = x^TAy中（矩阵x和y不同）。

如果曲面是欧几里得平面，则g_ik的值为

dY/dx1dY/dx1+ dZ/dx1dZ/dx1	dY/dx2Y/dx1+ dZ/dx2dZ/dx1
dY/dx2Y/dx1+ dZ/dx2dZ/dx1	dY/dx2dY/dx2+ dZ/dx2dZ/dx2

变成

1	0
0	1

所以矩阵A是单位矩阵I，并且

Ds² = Dx^T I Dx并且

Ds² =Dx₁²+ Dx₂²

这恢复了毕达哥拉斯定理。

如果曲面来自Ds² = -DY² +DZ²，则g_ik的值为

-(dY/dx1dY/dx1) + dZ/dx1dZ/dx1	-(dY/dx2Y/dx1) + dZ/dx2dZ/dx1
-(dY/dx2Y/dx1) + dZ/dx2dZ/dx1	-(dY/dx2dY/dx2) + dZ/dx2dZ/dx2

变成

-1	0
0	1

这使得可以恢复原始“规则”，即Ds² = -Dx₁²+ Dx₂²

时空间隔

现代相对论的基本假设是时空间隔是不变的。时空间隔由以下方程给出，而不是毕达哥拉斯定理

Ds² = -Dt² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

t前面负号的起源Dt引起了相当大的兴趣。它可能源于时间是虚数的假设、时间是实数并且度量对时间有负号的假设，或者时间是混合实虚数并且具有毕达哥拉斯度量的假设。

虚时间

假设毕达哥拉斯定理适用于时空间隔，并且

Ds² =Dt ² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

g_ik = (dt/dxⁱ dt/dx^k+ dx/dxⁱ dx/dx^k +dy/dxⁱ dy/dx^k +dz/dxⁱ dz/dx^k)

对于平面dt/dx⁰ =dx/dx¹ =dy/dx² =dz/dx³ = 1，所有其他系数都为零，因此

'g' =

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

这意味着如果要支持相对论的假设，则时间间隔必须是虚数，即Dt ² = (DT Ö -1) ²

以便Ds² =Dt² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃² 变成Ds² = -DT² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

这种形式的时间在广义相对论中不受支持

实时间

如果使用实时间，则沿每个坐标轴的每个位移的表达式保持不变，例如

DT =Dx₁dT/dx₁ +Dx₂dT/dx₂ +Dx₃dT/dx₃ +Dx₄dT/dx₄

等等。

但是当它们组合在一起时，公式Ds² = -DT² +Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²用于代替毕达哥拉斯定理（有关2D中完整示例，请参见上文）。这导致以下度量张量

'g' =

-1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

其中g₀₀由-1乘以（dt/dx⁰) ²给出。

混合实虚时间

还存在第三种通常不讨论的可能性。图1中的“平面”是观察者坐标系中的平面，曲面有自己的坐标系。如果曲面上的时间坐标是“虚数”，而平面上的时间坐标是实数（反之亦然），则使用毕达哥拉斯定理

Ds² =Dt² + Dx₁² +Dx₂² +Dx₃²

其中t等于(kt)，k是一个有待确定的常数。在平坦的时空中，g₀₀由（dt/dx⁰) ²给出。但t是虚数，所以g₀₀等于-1。然后这给出了与实时间假设完全相同的度量张量。

'g' =

-1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

度量张量的现代公式

现代公式使用以下数学表达式来表示时空间隔

s² = g_mn xⁿx^m

其中s、x的值表示四个坐标轴中每一个的微小位移，'g'是空间的度量。我们假设g₀₀与主对角线上的其他常数符号相反（即：假设时间是实数或混合的实数和虚数）。基于此假设，表达式变为

s² = x₁² + x₂² + x₃² - x₄²

展开如下所示。用矩阵表示法，即

T X1 X2 X3	-1	0	0	0	乘以	T
	0	1	0	0		X1
	0	0	1	0		X2
	0	0	0	1		X3

（其中t以米为单位表示时间，即：c乘以秒数）。数字-1,1,1,1是上面描述的微分系数组合的值。

计算第一个矩阵乘法，得到

-T x1 x2 x3	乘以	T
		X1
		X2
		X3

化简为：s² = x₁² + x₂² + x₃² - t²

这是时空的度量，适用于在没有加速度和强引力场的情况下s、x和t的相当大的值。注意，计算更像是一个平方范数而不是简单的平方，并且带有向量与其反射的乘积的物理含义（！）。

度量通常以微分形式表示，以便可以将其用于弯曲时空和相对于原点未测量的位移。

ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² - dt²

或者，等价地

ds² = dt² - dx₁² - dx₂² - dx₃²

高斯分析中常数的完整分析

DY =Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂

DY² = (Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂)²

DY² =Dx₁dY/dx₁ *Dx₁dY/dx₁ +Dx₁dY/dx₁ *Dx₂dY/dx₂ +Dx₁dY/dx₁ *Dx₂dY/dx₂ +Dx₂dY/dx₂ *Dx₂dY/dx₂

DY² =Dx₁Dx₁dY/dx₁dY/dx₁ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₂Dx₂dY/dx₂dY/dx₂

以及

DZ =Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂

DZ² = (Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂)²

DZ² =Dx₁dZ/dx₁ *Dx₁dZ/dx₁ +Dx₁dZ/dx₁ *Dx₂dZ/dx₂ +Dx₁dZ/dx₁ *Dx₂dZ/dx₂ +Dx₂dZ/dx₂ *Dx₂dZ/dx₂

DZ² =Dx₁Dx₁dZ/dx₁dZ/dx₁ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₂Dx₂dZ/dx₂dZ/dx₂

因此

DY² +DZ² =

(dY/dx₁dY/dx₁+ dZ/dx₁dZ/dx₁)Dx₁Dx₁

+ (dY/dx₂Y/dx₁+ dZ/dx₂dZ/dx₁)Dx₂Dx₁

+ (dY/dx₁dY/dx₂+ dZ/dx₁dZ/dx₂)Dx₁Dx₂

+ (dY/dx₂dY/dx₂+ dZ/dx₂dZ/dx₂)Dx₂Dx₂

对于平面

dY=dx₂ 以及dZ= dx₁ 所以dY/dx₂ = 1 以及dZ/dx₁ = 1 也dY/dx₁ = 0 以及dZ/dx₂ = 0。

Ds² =DY² +DZ² =(0 + 1)Dx₁Dx₁+ (0 + 0)Dx₂Dx₁+ (0 + 0)Dx₁Dx₂+ (1 + 0)Dx₂Dx₂

所以Ds² =DY² +DZ² =Dx₁² +Dx₂²

这恢复了毕达哥拉斯定理。

然而，在最一般的情况下，小间隔可能与毕达哥拉斯定理无关

假设

Ds² = -DY² +DZ²

所以，和之前一样

DY =Dx₁dY/dx₁ +Dx₂dY/dx₂

DY² =Dx₁Dx₁dY/dx₁dY/dx₁ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₁Dx₂dY/dx₁dY/dx₂ +Dx₂Dx₂dY/dx₂dY/dx₂

DZ =Dx₁dZ/dx₁ +Dx₂dZ/dx₂

DZ² =Dx₁Dx₁dZ/dx₁dZ/dx₁ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₁Dx₂dZ/dx₁dZ/dx₂ +Dx₂Dx₂dZ/dx₂dZ/dx₂

所以

-DY² +DZ² =

(-(dY/dx₁dY/dx₁) + dZ/dx₁dZ/dx₁)Dx₁Dx₁

+ (-(dY/dx₂Y/dx) + dZ/dx₂dZ/dx₁)Dx₂Dx₁

+ (-(dY/dx₁dY/dx₂) - dZ/dx₁dZ/dx₂)Dx₁Dx₂

+ (-(dY/dx₂dY/dx₂) - dZ/dx₂dZ/dx₂)Dx₂Dx₂