作用量、拉格朗日和哈密顿力学

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学校里教授的物理学观点与现代物理学截然不同。小学物理主要集中在物质块的加速度、碰撞、伸展和设定方向的运动。在真实的物理学中，世界被理解为发生在“流形”中的事件集合，它决定了运动的自由度。每个事件或现象要么是定向的，具有向量的性质，要么是非定向的，具有标量的性质。定向事件具有作为事件或现象本身属性的幅度。事件与世界的相互作用取决于事件方向与相互作用的事物之间的角度。因此，在物理学中，现象具有内在的幅度，并且这会导致对其他事物的效应，具体取决于它们在空间和时间上的相互作用方式。在真实的物理学中，所有相互作用都取决于幅度以及事物之间的时间和空间关系。

物理学和学校物理学之间的另一个重大差异是守恒定律。在物理学中，人们理解空间和时间是對稱的，事物在所有空间方向上均匀运动的自由度导致了线性动量的守恒，时间的均匀性导致了能量的守恒等等。对称性在守恒定律中的作用的发现源于拉格朗日形式的分析，将在下面讨论。拉格朗日方法在量子力学中的应用证明了为什么大型物体在现实世界中走特定的路径，并且可以用来推导和解释牛顿力学。

生物学家和人工智能研究人员对学校物理学的深刻依赖可能是意识研究等领域取得进展的主要障碍。世界在某种程度上可以通过过程来描述这一事实，不应使我们忽略这样一个事实，即我们观察到的经典世界实际上是由度量几何和量子物理学所支配的事物的排列。

作用量

大多数在学校学习过物理学的人学习了牛顿最初的方法。这种 17 世纪的物理学方法已经被取代了。许多学生会惊讶地发现，它在 18 世纪就被取代了。你曾在学校物理课上学到的方法已经过时了 200 年。

幸运的是，两个多世纪前发现的方法仍然被广泛应用，即使在现代物理学中也是如此，因此很容易赶上。18 世纪的方法被称为拉格朗日力学（由约瑟夫·拉格朗日于 1772 年至 1788 年间发明）。拉格朗日力学侧重于运动过程中的能量交换，而不是涉及的力。拉格朗日力学催生了哈密顿力学（由威廉·哈密顿于 1833 年发明）。

考虑一辆在无摩擦轨道上运行的玩具火车。我们希望利用我们对能量和运动的直觉来找出它从轨道起点到终点所走的路径。如果火车在轨道上自由运行，就会发现它需要特定的时间才能到达终点。如果在第二次运行中，火车被反转，然后在原始方向上重新启动，以在相同的时间到达终点，则可以使用任何数量的能量将火车从起点送到终点。很明显，如果火车要在给定的时间内从起点到终点，那么在整个期间使用最少的能量是在没有干预的情况下发生的。

我们可以测量所有用于减慢或加速火车的能量形式，以查看是否发生了干预，但事实证明，只需要测量火车的动能。如果火车被减速，减去动能，那么为了使火车在适当的时间到达轨道的尽头，当再次推动它前进时，必须添加更多的动能才能使其及时到达终点。这意味着我们可以通过简单地测量间隔处的动能来解释影响火车运动的能量消耗。整个行程中动能的最小值对应于没有干预。

当所有动能测量值的总和为零时，不会发生干预。玩具火车系统中所有动能测量值的总和被称为作用量，符号为S。

作用量可能比简单动能总和更复杂，例如，当球被抛向空中时，动能可以转化为势能，反之亦然。如果球被抛向空中并在一定时间后撞击地面，那么当整个时间间隔内动能和势能之差的测量值之和最小化时，干预最少。在这种情况下，“作用量”是动能和势能之差的测量值的总和。

皮埃尔·路易·莫罗·德·莫佩尔蒂于 1746 年发现了最小作用量的概念。他将作用量定义为运动发生的时间乘以运动物体动能的两倍的乘积。他发现该乘积趋于最小，这一概念被称为最小作用量原理。

欧拉、拉格朗日和哈密顿的工作导致最小作用量原理中的概念被应用于整个物理学。这种更广泛且经过修改的最小作用量原理现在被称为驻定作用量原理。

在数学术语中，作用量 S 由下式给出

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\ (T-U)\,dt.$

其中 T 是动能，U 是势能。

量 (T - U) 被称为拉格朗日函数，所以如果

$L=T-U$

拉格朗日量取决于位置以及位置相对于时间的导数 $(x,{\dot {x}})$ . 作用量为

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;L(x,{\dot {x}})\,dt.

问题在于如何确定拉格朗日量， $(T-U)$ ，会如何随着距离， $x$ ，而变化，从而使作用量， $S$ 最小化。换句话说，给定 $T,U$ 和 $x$ 之间的关系， $L$ 相对于 $t$ 的哪条曲线将包含最小面积？（这个过程被称为寻找积分的最小化 *极值曲线*）。

以这种方式计算最小 *作用量* 的起点是欧拉的变分法计算（参见 Hanc 2005）。这将导致欧拉-拉格朗日方程

{\partial L \over \partial x_{a}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}_{a}}=0

这是一个用于寻找极值曲线的复杂公式。

拉格朗日量

拉格朗日量 $(T-U)$ 在简单力学中有着直接的应用。在简单力学中，运动物体的动能由下式给出

T={\frac {1}{2}}mv^{2}

由于 $v={\dot {x}}$ （距离的时间导数），所以等于

T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}

而势能通常与距离成正比

U=kx

或

U=mgh

等等。

拉格朗日量则为

L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-U(x)

对拉格朗日量关于 $x$ 求导

{\partial L \over \partial x}=-{dU \over dx}

但牛顿力是势能随距离的变化，所以

{\partial L \over \partial x}=force

对拉格朗日量关于 ${\dot {x}}$ 求导

{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=m{\dot {x}}

而 $m{\dot {x}}$ 是牛顿动量。

所以

{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=m{\dot {\dot {x}}}

即牛顿力。因此

{\partial L \over \partial x}={d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}

它是拉格朗日力学中 $f=ma$ 的等价形式。

哈密顿力学

哈密顿力学从表达系统总能量的想法开始

H=T+U

其中 T 是动能，U 是势能。哈密顿量可以用动量 $p$ 和拉格朗日量来表示

H_{(p,{\dot {x}})}=p{\dot {x}}-L_{(x,{\dot {x}})}

对哈密顿量关于动量速度求导得到

{\partial H \over \partial p}={\dot {x}}

对哈密顿量关于 $x$ 求导，我们可以推导出力的哈密顿表达式

{\partial H \over \partial x}=-{\partial L \over \partial x}

以及

-{\partial H \over \partial x}={\dot {p}}=force

.

拉格朗日分析和守恒定律

欧拉-拉格朗日方程可以重新整理为

{\partial L \over \partial x}={d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}

如果这个方程的一边为零，那么另一边也为零。这意味着，例如，如果动能-势能随着距离的变化而没有变化，那么 $\partial L \over \partial {\dot {x}}$ 是一个常数，或者说是守恒的。

在上面对作用的讨论中，已经表明动能和势能的变化是由于物体运动过程或轨迹的扰动引起的。换句话说，如果物体在运动中受到扰动，那么拉格朗日量在欧几里得空间中的变化将会发生，并且 $\partial L \over \partial x$ 在路径没有受到扰动的情况下将为零。

对于一个自由运动的粒子

L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}

以及

{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=m{\dot {x}}

如果

{\partial L \over \partial x}=0

那么

m{\dot {x}}

即动量，是守恒的。

埃米·诺特系统地研究了守恒定律、对称性和不变量之间的关系。以下列出了对称性及其对应的守恒定律：

空间平移：动量守恒。

时间平移：能量守恒

空间旋转：角动量守恒

双曲旋转（洛伦兹变换）：能量-动量四维矢量守恒

参见 http://www.eftaylor.com/pub/Symmetry0104.pdf

http://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm

这是一个存根

量子力学的作用

参见量子物理学解释牛顿运动定律 http://www.eftaylor.com/pub/OgbornTaylor.pdf

狭义相对论入门 http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity_for_beginners

这是一个存根

成为物理是什么感觉？

时空矢量或量子场？ 这是一个存根

参考文献

Hanc, J. (2005). The original Euler’s calculus-of-variations method:Key to Lagrangian mechanics for beginners.Submitted to Eur. J. Phys. http://www.eftaylor.com/pub/HancEulerEJP.pdf

Norbury, J.W. Lagrangians and Hamiltonians for High School Students. http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0004/0004029.pdf

Calvert, J.B. The beautiful theory. http://www.du.edu/~jcalvert/math/lagrange.htm 另见 http://www.du.edu/~jcalvert/