定义 ():
设 V {\displaystyle V} 为向量空间，而 f : V → [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle f:V\to [-\infty ,\infty ]} 为一个函数。 f {\displaystyle f} 被称为凸当且仅当对所有 v , w ∈ V {\displaystyle v,w\in V} 和 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 以下恒等式成立
直观地说，这意味着如果给出两个点 v , w ∈ V {\displaystyle v,w\in V} ，则连接 ( v , f ( v ) ) {\displaystyle (v,f(v))} 到 ( w , f ( w ) ) {\displaystyle (w,f(w))} 的直线位于路径 t ↦ ( t v + ( 1 − t ) w , f ( t v + ( 1 − t ) w ) ) {\displaystyle t\mapsto (tv+(1-t)w,f(tv+(1-t)w))} 之上。
![{\displaystyle f:V\to [-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88e33e959997f06ec69b9f59edb6e1a03c36c35)
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
