凸分析/强凸性

定义（强凸函数）:

令 $X$ 是一个在 $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 上的巴拿赫空间。一个函数 $f:X\to (-\infty ,\infty ]$ 称为参数为 $\Lambda >0$ 的强凸函数，当且仅当对所有 $x,y\in X$ 和 $t\in [0,1]$ 满足以下等式：

f\left(tx+(1-t)y\right)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {t(1-t)}{2}}\Lambda \|x-y\|

命题（强凸函数的极小值点的存在性和唯一性）:

令 $X$ 是一个在 $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 上的巴拿赫空间，并令 $f:X\to \mathbb {R}$ 是一个参数为 $\Lambda >0$ 的强凸函数，此外该函数还被限制在下面（比如被 $b\in \mathbb {R}$ ）并且连续。那么 $f$ 存在唯一的极小值点（即一个实现 $f(x)$ 的下确界的元素，其中 $x$ 在 $X$ 中取值）。

证明： 由于 $\forall x\in X:f(x)\geq b$ ，值 $\mu :\inf _{x\in X}f(x)\in \mathbb {R}$ 存在。选择一个序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $X$ 中，使得

f(x_{n})\leq \mu +{\frac {1}{n}}

.^{[注 1]}

$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一个柯西序列，因为如果 $z\in X$ 使得 $f(z)\leq \mu +{\frac {1}{n}}$ 并且 $w\in X$ 使得 $f(w)\leq \mu +{\frac {1}{m}}$ ，那么

\mu \leq f\left({\frac {z+w}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(f(z)+f(w)\right)-{\frac {1}{8}}\Lambda \|z-w\|\leq \mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)-{\frac {1}{8}}\Lambda \|z-w\|

,

因此

\|z-w\|\leq {\frac {4}{\Lambda }}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)

;

特别地，如果我们证明了最小化点 $x_{\infty }$ 存在，那么它将是唯一的，因为如果我们设置 $z=x_{\infty }$ 并称任何其他最小化点为 $w$ ，上述估计对任意 $m,n$ 成立。由于 $X$ 是 Banach 空间， $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是收敛的，比如收敛到 $x_{\infty }\in X$ 。如果我们证明了

f(x_{\infty })<\mu +\epsilon

对于所有 $\epsilon >0$ ，则 $f(x_{\infty })=\mu$ 。根据 $f$ 的连续性，选择 $\delta >0$ 使得 $\|x_{\infty }-y\|<\delta$ 意味着 $|f(x_{\infty })-f(y)|<\epsilon /2$ 。根据 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的收敛性，选择足够大的 $N\in \mathbb {N}$ ，使得对于所有 $m\geq N$ $\|x_{\infty }-x_{m}\|<\delta$ 。然后选择 $k\geq N$ 使得 ${\frac {1}{k}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}$ 。然后三角不等式意味着