凸性/凸函数

凸函数 f(x) 是一个定义在向量空间中凸集 X 上的实值函数，对于该集合中的任意两个点 x、y，以及满足 $\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1,$ 的任意 λ，有

$\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y).$

注意：因为 X 是凸的，所以 $\displaystyle (\lambda x+(1-\lambda )y)$ 必须在 X 中。

如果函数 -f(x) 是凸的，则称 f(x) 为凹函数。很容易看出，如果一个函数既是凸函数又是凹函数，那么它一定是线性的。

定理：在 X 上的凸函数在 X 的任何紧子集上都是有界的。

定理：在 X 上的凸函数在 X 内部每个点处都是连续的。

定理：如果 f(x) 在包含原点 O 的集合中是凸的，并且 f(O) = 0，那么 ^f(μx)⁄_μ 是 μ 的递增函数，其中 μ > 0。