凸性/海利定理

海利定理如下

令 Rⁿ 是 n 维实向量空间，令 N > n。假设你在 Rⁿ 中有 N 个凸集，使得对于任何 n+1 个集合，它们至少有一个公共点。那么所有 N 个集合至少有一个公共点。

证明：显然，定理对 N = n+1 成立。用归纳法证明，假设它对 N-1 成立。令这些集合为 X₁ 到 X_N。对于每个 i，排除集合 X_i。根据归纳假设，至少存在一个点 x(i) 属于除 X_i 外的所有集合。由于 N > n+1，所以 (n+1) 个方程

$\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}x_{k}(i)=0$

$\displaystyle (k=1,2,...n)$

$\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=0$

在 N 个未知数 λ₁ 到 λ_N 中必须有非平凡解。对于一个这样的解，用 λ_j1 到 λ_jk 表示那些正的 λ，用 λ_h1 到 λ_h(N-k) 表示那些负的 λ。