凸性/凸包

定义

集合 X 的凸包，也称为凸包络，是 X 的最小凸集。形式上，

定义： 集合 X 的凸包 H(X) 是包含 X 的所有凸集的交集。

如果 X 是凸的，那么显然 H(X) = X，因为 X 是它自己的子集。反之，如果 H(X) = X，则 X 显然是凸的。

定理： 如果 X 是闭且有界的，那么 H(X) 也是闭且有界的。

定理： H(X) 是连接 X 中所有点对的所有直线的并集（其中直线包括端点）。

证明： 设 A、B 为 X 中任意两点。它们也位于包含 X 的任何凸集 Y 中。连接它们的直线也必须位于 Y 中，因此它必须位于包含 X 的所有凸集的交集中，即位于 H(X) 中。因此，所有这些直线的并集是 H(X) 的子集。