凸性/什么是凸集？

一个凸集；任何连接两点的直线都不能完全位于集合之外

一个凸集是指一个点集，对于该集合中的任意两点 A、B，连接它们的直线 AB 完全位于该集合内。

直观地说，这意味着该集合是连通的（因此你可以从任何两点之间穿过而不离开该集合）并且其周长没有凹陷。周长的一部分可以是直线。

笔记

1. 假设连接两点的直线概念已经定义。在实数上的向量空间中，它是集合 {λA+(1-λ)B}，0 < λ < 1}。除非明确说明相反，否则将假设我们正在处理实数上的向量空间。
2. 按照惯例，空集和所有包含单个点的集合都被视为凸集。由于我们无法在这些集合中找到两个不同的点，因此我们不能说连接这两个点的直线不在集合中。

定理

如果 X 是一个凸集，并且 x₁ ... x_k 是其中的任意点，那么

$\displaystyle x=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}$ 其中所有 $\displaystyle \lambda _{i}>0$ 并且 $\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=1$

也在 X 中。

证明： 如果 $k=2$，则该定理根据凸集的定义成立。

现在我们通过归纳进行推导。假设该定理对于 $k=m$ 成立。如果 $k=m+1$，我们可以将 $x$ 的定义表示为两个点的线性组合，其中一个是前 $m$ 个点的线性组合，另一个是第 $(m+1)$ 个点

$\displaystyle x=L\sum _{i=1}^{m}(\lambda _{i}/L)\,x_{i}+(1-L)\,x_{m+1}$ 其中 $\displaystyle L=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}$.

根据归纳假设，第一个点必须在$X$中；因此，根据定义，$x\in X$。