量子力学中的相关高斯方法

显式相关高斯函数已广泛用于原子、分子和核物理中的量子力学变分计算。本书试图收集有关计算量子力学中这种成熟工具的相关信息。

简介

我们通常通过薛定谔方程描述核物理和原子物理中的束缚态和散射问题。不幸的是，现代量子物理学提出了我们无法用解析方法求解的问题。幸运的是，强大的计算机的可用性正在将重点从解析计算解决方案转变为数值分析。在过去的一个世纪中，为了数值逼近解而开发了许多方法，例如蒙特卡罗模拟、超球坐标展开、具有不同试探波函数的变分方法等。

在本节中，我们将讨论具有相关高斯函数形式的试探函数的变分方法，该方法在现代物理学中得到了广泛的应用。在数学上，它基于里兹定理，该定理指出，对于来自状态空间的任意函数 Ψ，哈密顿量的期望值（<Ψ|H|Ψ>/<Ψ|Ψ>）大于基态能量。因此，选择不同的试探波函数并计算这些函数的哈密顿量的平均值，可以让我们获得基态能量的上限。

示例

为了展示该方法的思想，我们考虑一维空间中通过振荡器势相互作用的两个粒子

${\bigg [}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x}_{1}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x}_{2}}}+{\frac {1}{2}}(x_{1}-x_{2})^{2}{\bigg ]}\phi =E\phi \;.$

这是一个非常简单的教科书问题，其基态解为

$\phi _{0}=({\frac {\sqrt {2}}{\pi }})^{1/4}\exp(-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(x_{1}-x_{2})^{2})\;,E_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\;,$

其中为了简化起见，我们假设总动量等于零。

为了展示该方法的工作原理，我们选择试探波函数的形式为仅一个高斯函数

$f_{tr}=({\frac {4\alpha }{\pi }})^{1/4}\exp(-\alpha (x_{1}-x_{2})^{2})\;,$

其中我们只有一个需要最小化能量的实正参数。该方法的思想是仅使用实数生成器随机地选择此参数。我们发现，无论种子如何，经过 50 次尝试后，我们找到了 α 的值，该值使基态能量达到 5 位有效数字。

哈密顿量期望值的收敛性（不同的曲线对应于随机数生成器的不同起始种子）。

当然，这是一个非常简单的示例，我们能够以高精度建立能量，仅仅因为我们是在包含哈密顿量的基态波函数的空间中工作。

为了建立激发态，仅仅使用一个高斯函数是不够的，因此我们以更一般的形式选择试探波函数

$f_{tr}=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\exp(-\alpha _{i}(x_{1}-x_{2}-s_{i})^{2})\;.$

如上所述，我们随机选择参数 $\alpha _{i},s_{i}$，然后通过最小化哈密顿量的期望值来确定线性参数 c_i。使用 N=25 和一组随机参数 $\alpha _{i},s_{i}$（我们假设 $0<\alpha _{i}<5,-1<s_{i}<1$），我们得到了前 6 个本征态，精确到 5 位有效数字。

从这个简单的例子中，我们了解到，我们能够在没有任何关于系统先验知识的情况下，仅使用随机搜索来近似薛定谔方程的解。主要问题是如何估计这种近似的精度。

该方法

所考虑的哈密顿量

我们将考虑一个非相对论量子力学 $N$ 体（N 体）系统，该系统由哈密顿量描述

${\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial {\vec {r}}_{i}}}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}({\vec {r}}_{i})+\sum _{i<j}^{N}V_{ij}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})\;,$

其中 $m_{i}$ 和 ${\vec {r}}_{i}$ 分别是第 $i$ 个粒子的质量和坐标；第一项是动能算符；第二项是单体力，例如外场（通常是振荡器，$V_{i}({\vec {r}}_{i})={\frac {m_{i}\omega ^{2}}{2}}{\vec {r}}_{i}^{2}$），例如 磁光阱；第三项是二体力，即粒子间的相互作用。

这个哈密顿量可以描述一个捕获的原子系统或原子核。

一般来说，我们还可以考虑自旋相关的、三体的、非局部的和其他类型的相互作用，这些相互作用将在需要时引入。

薛定谔方程的基展开

我们将求解薛定谔方程

${\hat {H}}|\psi \rangle =\epsilon |\psi \rangle \;,$

其中 ${\hat {H}}$ 是量子少数体系统的哈密顿量，$|\psi \rangle$ 和 $\epsilon$ 分别是待求解的本征函数和本征值。

我们将用一组基函数 $|i\rangle _{i=1\dots n}$ 展开波函数 $|\psi \rangle$，

$|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|i\rangle \;.$

将展开式代入薛定谔方程，并从左边乘以 $\langle k|_{1\leq k\leq n}$，得到

$\sum _{i=1}^{n}\langle k|{\hat {H}}|i\rangle c_{i}=\epsilon \sum _{i=1}^{n}\langle k|i\rangle c_{i}\;.$

或者，用矩阵表示法

${\cal {H}}c=\epsilon {\cal {N}}c\;,$

其中 ${\cal {H}}$ 和 ${\cal {N}}$ 分别是哈密顿量和重叠矩阵，矩阵元素为

${\cal {H}}_{ki}=\langle k|{\hat {H}}|i\rangle \,,\;{\cal {N}}_{ki}=\langle k|i\rangle \;.$

矩阵方程 ${\cal {H}}c=\epsilon {\cal {N}}c$ 被称为广义特征值问题。有一些已建立的例程可以解决这个问题，例如 Octave 中的“eig”函数，或 GNU Scientific Library 中的“gsl_eigen_gensymm”函数。

如果基函数是正交且归一化的，则重叠矩阵等于单位矩阵，${\cal {N}}_{ij}=\delta _{ij}$，广义特征值问题简化为普通特征值问题，${\cal {H}}c=\epsilon c$。

我们将使用高斯函数（非正交）作为基函数，因此我们将处理广义特征值问题。

高斯函数作为基函数

我们将使用所谓的相关高斯函数（或显式相关高斯函数）作为基函数。对于一个具有坐标 ${\vec {r}}_{i}\,,\;i=1\dots N$ 的 $N$ 个粒子的系统，相关高斯函数定义为

$g({\vec {r}}_{1},\dots ,{\vec {r}}_{N})\doteq \exp \left(-\sum _{i,j=1}^{N}A_{ij}{\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{j}+\sum _{i=1}^{N}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}\right)$,

其中 ${\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{j}$ 表示两个向量的点积；其中 $A$，一个对称正定矩阵，和 ${\vec {s}}_{i}|_{i=1,\dots ,N}$，移位向量，是高斯函数的（巧妙选择的）参数。

在矩阵表示法中，

$g({\bf {r}})\doteq \exp \left(-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}A{\bf {r}}+\mathbf {s} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} \right)$,

其中 ${\bf {r}}$ 是坐标 ${\vec {r}}_{i}$ 的列向量，$\mathbf {s}$ 是位移向量 ${\vec {s}}_{i}$ 的列向量。

${\bf {r}}\doteq \left({\begin{matrix}{\vec {r}}_{1}\\\vdots \\{\vec {r}}_{N}\end{matrix}}\right),\;{\bf {s}}\doteq \left({\begin{matrix}{\vec {s}}_{1}\\\vdots \\{\vec {s}}_{N}\end{matrix}}\right)$,

并且

${\bf {r}}^{\mathsf {T}}A{\bf {r}}+\mathbf {s} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} \doteq \sum _{ij}{\vec {r}}_{i}\cdot A_{ij}{\vec {r}}_{j}+\sum _{i}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}$.

用高斯函数表示矩阵元素

我们将少体波函数 $\Psi ({\vec {r}}_{1},\dots ,{\vec {r}}_{N})$ 表示为 $n$ 个关联高斯函数的线性组合。

$\Psi ({\vec {r}}_{1},\dots ,{\vec {r}}_{N})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}g_{i}({\vec {r}}_{1},\dots ,{\vec {r}}_{N})\;.$

我们将在稍后讨论矩阵 $A$ 的选择，在这里只计算矩阵元素。

重叠

重叠为：

$\langle g'|g\rangle \doteq \int d^{3}{\vec {r}}_{1}\dots d^{3}{\vec {r}}_{N}\exp \left(-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}(A'+A){\bf {r}}+(\mathbf {s} '+\mathbf {s} )^{\mathsf {T}}\mathbf {r} \right)\equiv \int d\mathbf {r} \exp \left(-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} +\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} \right)\;,$

(其中 $d\mathbf {r} \doteq d^{3}{\vec {r}}_{1}\dots d^{3}{\vec {r}}_{N}$，$B\doteq A'+A$ 以及 $\mathbf {v} \doteq \mathbf {s} '+\mathbf {s}$) 可以通过进行正交变换，${\bf {r}}\rightarrow {\bf {x}}=Q^{\mathsf {T}}{\bf {r}}$，其中 $Q^{\mathsf {T}}Q=1$，转换为矩阵 $B$ 为对角矩阵的基底，

${\begin{aligned}\langle g'|g\rangle &=\int d\mathbf {x} \exp \left(-{\bf {x}}^{\mathsf {T}}B{\bf {x}}+\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \right)=\int d\mathbf {x} \exp \left(-\sum _{i=1}^{N}{\vec {x}}_{i}\cdot B_{ii}{\vec {x}}_{i}+\sum _{i=1}^{N}{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {x}}_{i}\right)&\\&=\prod _{i=1}^{N}\int d^{3}{\vec {x}}_{i}\exp \left(-{\vec {x}}_{i}\cdot B_{ii}{\vec {x}}_{i}+{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {x}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{N}\exp \left({\frac {1}{4B_{ii}}}{\vec {v}}_{i}^{2}\right)\left({\frac {\pi }{B_{ii}}}\right)^{3/2}\\&=e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\;.&\end{aligned}}$

最后，

$\langle g'|g\rangle =e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\,,\;\mathrm {where} \;B\doteq A'+A\;\mathrm {and} \;\mathbf {v} \doteq \mathbf {s} '+\mathbf {s} \;.$

动能

让我们考虑动能算符的一种更普遍的形式，

${\hat {K}}=-\sum _{i,j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{i}}}\Lambda _{ij}{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{j}}}\equiv -{\frac {\partial }{\partial {\bf {r}}}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}}}\;,$

其中 $\Lambda$ 是一个常数矩阵，例如，对于上面的哈密顿量 $\Lambda _{ij}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\delta _{ij}\;.$

矩阵元素表示为

$\langle g'|{\hat {K}}|g\rangle =\int d\mathbf {r} e^{-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}A'{\bf {r}}+\mathbf {s} '^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\left(-\sum _{i,j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{i}}}\Lambda _{ij}{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{j}}}\right)e^{-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}A{\bf {r}}+\mathbf {s} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\;.$

对左导数进行分部积分得到

${\begin{aligned}\langle g'|{\hat {K}}|g\rangle &=\int d\mathbf {r} \left({\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}e^{-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}A'{\bf {r}}+\mathbf {s} '^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\right)\Lambda \left({\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}}}e^{-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}A{\bf {r}}+\mathbf {s} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\right)\\&=\int d\mathbf {r} e^{-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}B{\bf {r}}+\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }(-2\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}A'+\mathbf {s} '^{\mathsf {T}})\Lambda (-2A\mathbf {r} +\mathbf {s} )\\&=\int d\mathbf {r} e^{-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}B{\bf {r}}+\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }(4\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}A'\Lambda A\mathbf {r} -2\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}A'\Lambda \mathbf {s} -2\mathbf {s} '^{\mathsf {T}}\Lambda A\mathbf {r} +\mathbf {s} '^{\mathsf {T}}\Lambda \mathbf {s} )\;.\end{aligned}}$

逐项计算，

${\begin{aligned}\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} +\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}F\mathbf {r} &={\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}F{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} +\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }=\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\left({\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}F{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\\&=\left({\frac {3}{2}}\;\mathrm {trace} (FB^{-1})+\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}F\mathbf {u} \right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\;,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} +\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} &=\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} +\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }=\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\\&=\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\;,\end{aligned}}$

其中 $\mathbf {u} \doteq {\frac {1}{2}}B^{-1}\mathbf {v}$.

最后，

$\left\langle g'\left|-{\frac {\partial }{\partial {\bf {r}}}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}}}\right|g\right\rangle =\left(6\,\mathrm {trace} (A'\Lambda AB^{-1})+(2A'\mathbf {u} -\mathbf {s} ')^{\mathsf {T}}\Lambda (2A\mathbf {u} -\mathbf {s} )\right)e^{{\frac {1}{2}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\,,\;B\doteq A'+A,\;\mathbf {u} \doteq {\frac {1}{2}}B^{-1}\mathbf {v} .$

势能

例如，粒子 $i$ 和 $j$ 之间相互作用势的矩阵元素，

$\langle g'|V({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})|g\rangle$,

可以用更一般的形式写成：

$\langle g'|V(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )|g\rangle$,

其中 $w$ 是一个大小为 N 的向量，其所有分量都为零，除了 $w_{i}=1$ 和 $w_{j}=-1$。

单体相互作用， $V({\vec {r}}_{i})$，具有相同的形式， $V(w^{T}{\bf {r}})$，其中 $w_{i}=1$ 且所有其他分量都为零。

中心势

对于高斯形式的中心势，

$V({\vec {r}}_{i})\doteq Se^{-\alpha {\vec {r}}_{i}^{2}}=Se^{-\alpha \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} },\;\mathrm {where} \;w_{i}=1,\;w_{k\neq i}=0\;,$

位移后的高斯函数之间的矩阵元可以直观地计算得到。

$\langle g'|e^{-\alpha \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }|g\rangle =\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}(B+\alpha ww^{\mathsf {T}})\mathbf {r} +\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }=e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B')}}\right)^{3/2}$

其中 $B'=B+\alpha ww^{\mathsf {T}}$.

行列式的秩 1 更新，$\det(B+\alpha ww^{\mathsf {T}})$，以及矩阵逆，$(B+\alpha ww^{\mathsf {T}})^{-1}$，可以使用以下公式进行高效计算。

$\det(B+uv^{\mathsf {T}})=(1+v^{\mathsf {T}}B^{-1}u)\,\det(B)\,,$

以及（Sherman-Morrison）

$(B+uv^{T})^{-1}=B^{-1}-{B^{-1}uv^{T}B^{-1} \over 1+v^{T}B^{-1}u}.$

对于一般的形式因子中心势，计算矩阵元的一种方法是通过势的傅里叶变换，$V({\vec {r}})=\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}{\mathfrak {f}}({\vec {k}})e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}$,

$\langle g'|V(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )|g\rangle =\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}{\mathfrak {f}}({\vec {k}})\int d{\bf {r}}e^{-{\bf {r}}^{\mathsf {T}}B{\bf {r}}+(\mathbf {v} +i{\vec {k}}w)^{\mathsf {T}}{\bf {r}}}=\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}{\mathfrak {f}}({\vec {k}})\;e^{{\frac {1}{4}}(\mathbf {v} +i{\vec {k}}w)^{\mathsf {T}}B^{-1}(\mathbf {v} +i{\vec {k}}w)}\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}$.

因此

$\langle g'|V(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )|g\rangle =e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}{\mathfrak {f}}({\vec {k}})e^{-\alpha {\vec {k}}^{2}+i{\vec {k}}{\vec {q}}}\,,$

其中 ${\mathfrak {f}}({\vec {k}})$ 是势能 $V({\vec {r}})$ 的傅立叶变换，$\alpha \doteq {\frac {1}{4}}w^{T}B^{-1}w$ 且 ${\vec {q}}\doteq {\frac {1}{2}}w^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v}$.

最后一个积分也可以用势能本身来写，

${\begin{aligned}\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}{\mathfrak {f}}({\vec {k}})e^{-\alpha {\vec {k}}^{2}+i{\vec {k}}{\vec {q}}}&=\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-\alpha {\vec {k}}^{2}-i{\vec {k}}({\vec {r}}-{\vec {q}})}=\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-{\frac {({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}{4\alpha }}}\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}e^{-\alpha \left({\vec {k}}+i{\frac {{\vec {r}}-{\vec {q}}}{2\alpha }}\right)^{2}}=\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-{\frac {({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}{4\alpha }}}{\frac {\pi ^{3/2}}{(2\pi )^{3}\alpha ^{3/2}}}\\&=\left({\frac {1}{4\alpha \pi }}\right)^{3/2}\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-{\frac {({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}{4\alpha }}}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)^{3/2}\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-\beta ({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}\;,\end{aligned}}$

其中 $\beta \doteq {\frac {1}{4\alpha }}=(w^{T}B^{-1}w)^{-1}$.

最后，

$\langle g'|V(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )|g\rangle =e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)^{3/2}\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-\beta ({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}\,,$

其中 $\beta =(w^{T}B^{-1}w)^{-1}$ 以及 ${\vec {q}}\doteq {\frac {1}{2}}w^{\mathsf {T}}B^{-1}\mathbf {v}$.

以下是某些常见势的积分公式：

• 高斯势，$\int d^{3}{\vec {r}}\;e^{-\gamma {\vec {r}}^{2}}\;e^{-\beta ({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}=e^{-{\frac {\gamma \beta }{\gamma +\beta }}{\vec {q}}^{2}}\left({\frac {\pi }{\gamma +\beta }}\right)^{3/2}$；

• 库仑势，$\int d^{3}{\vec {r}}\;{\frac {1}{r}}\;e^{-\beta ({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}=2\pi \int _{0}^{\infty }rdr\int _{-1}^{1}d\cos \theta \;e^{-\beta r^{2}+2\beta rq\cos \theta -\beta q^{2}}={\frac {2\pi }{\beta }}{\frac {1}{2q}}\int _{0}^{\infty }dr\left(e^{-\beta (r-q)^{2}}-e^{-\beta (r+q)^{2}}\right)={\frac {2\pi }{\beta }}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {\mathrm {erf} ({\sqrt {\beta }}q)}{{\sqrt {\beta }}q}}$；

• 振荡器，$\int d^{3}{\vec {r}}\;{\vec {r}}^{2}\;e^{-\beta ({\vec {r}}-{\vec {q}})^{2}}=\beta ^{-5/2}\int d^{3}{\vec {x}}\left({\vec {x}}+{\sqrt {\beta }}{\vec {q}}\right)^{2}e^{-{\vec {x}}^{2}}={\frac {\pi ^{3/2}}{\beta ^{5/2}}}\left({\frac {3}{2}}+\beta {\vec {q}}^{2}\right)$.

张量势

在核物理学中，两个核子之间的张量势具有以下形式

${\hat {V}}_{\mathsf {tensor}}=f(r)({\vec {\sigma }}_{1}\cdot {\vec {r}})({\vec {\sigma }}_{2}\cdot {\vec {r}})$

其中 $f(r)$ 是形状因子； ${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}$； ${\vec {r}}_{1}$ 和 ${\vec {r}}_{2}$ 是核子的坐标； $\sigma _{1}$， $\sigma _{2}$ 是与自旋相关的泡利矩阵， ${\vec {s}}_{1}$ 和 ${\vec {s}}_{1}$，是两个核子的自旋：${\vec {s}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{1}$， ${\vec {s}}_{2}={\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{2}$.

人们经常添加项 $-f(r){\frac {1}{3}}\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}$ 以确保势能没有中心分量（即，势能对所有方向的平均值为零）。如果没有这个附加项，上述张量势能将具有中心自旋-自旋分量 ${\frac {1}{3}}f(r)(\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}$）。

再次介绍列向量 $w$，其中 $w_{1}=1$，$w_{2}=-1$，$w_{i\neq 1,2}=0$，以及向量列 $\mathbf {a} ={\vec {\sigma }}_{1}w$，$\mathbf {b} ={\vec {\sigma }}_{2}w$，势能可以写成一个方便的通用形式：

${\hat {V}}_{\mathsf {tensor}}=f(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )$

该算符在平移高斯函数之间的矩阵元素表示为

$\langle g'|{\hat {V}}_{\mathsf {tensor}}|g\rangle =\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} -\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }f(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )=\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)\left(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} -\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }f(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )\;.$

这可以通过解析计算高斯形状因子，$f(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )=e^{-\gamma \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }$，

${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)\left(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)\int d\mathbf {r} e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}B\mathbf {r} -\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }e^{-\gamma \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }&=\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)\left(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}}\right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B')}}\right)^{3/2}\\&=\left({\frac {1}{2}}\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {b} +{\frac {1}{4}}(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} )(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} )\right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B')}}\right)^{3/2}\;,\end{aligned}}$

其中 $B'=B+\gamma ww^{\mathsf {T}}$.

最后，对于高斯张量势，

$\left\langle g'\left|e^{-\gamma \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )\right|g\right\rangle =\left({\frac {1}{2}}\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {b} +{\frac {1}{4}}(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} )(\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} )\right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B')}}\right)^{3/2}\;,$

其中 $B'=B+\gamma ww^{\mathsf {T}}$.

自旋轨道势

两个核子之间的自旋轨道势 --- 坐标分别为 ${\vec {r}}_{1}$ 和 ${\vec {r}}_{2}$，自旋分别为 ${\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{1}$ 和 ${\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{2}$ --- 通常写成如下形式

$V_{\mathsf {spin-orbit}}=f(r)\left({\vec {S}}\cdot {\vec {L}}\right)$

其中 ${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}$；${\vec {S}}$ 是两个核子的总自旋，

${\vec {S}}={\frac {1}{2}}({\vec {\sigma }}_{1}+{\vec {\sigma }}_{2})\,,$

而 ${\vec {L}}$ 是两个核子之间的相对轨道角动量。

${\vec {L}}=({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\times {\frac {-i}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{2}}}\right)\,.$

其中 $\times$ 表示两个向量的向量积。

轨道角动量可以使用列向量 $w$ （其中 $w_{1}=1$，$w_{2}=-1$，$w_{i\neq 1,2}=0$）重写为一个方便的通用形式，

${\vec {L}}={\frac {-i}{2}}\left(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} \times w^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}}}\right)\,.$

对于一个高斯形状因子，$f(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )=\exp(-\gamma \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} )$，对应于平移高斯之间的矩阵元可以解析地计算。

${\begin{aligned}\left\langle g'\left|e^{-\gamma \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\left(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} \times w^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}}}\right)\right|g\right\rangle &=\int d\mathbf {r} e^{-\gamma \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}ww^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}A'\mathbf {r} +\mathbf {s} '^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\left(w^{\mathsf {T}}\mathbf {r} \times w^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} ^{\mathsf {T}}}}\right)e^{-\mathbf {r} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {r} +\mathbf {s} ^{\mathsf {T}}\mathbf {r} }\\&=\left(w^{\mathsf {T}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {s} '^{\mathsf {T}}}}\right)\times \left(w^{\mathsf {T}}\mathbf {s} -2w^{\mathsf {T}}A{\frac {\partial }{\partial \mathbf {s} ^{\mathsf {T}}}}\right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B')}}\right)^{3/2}\\&=\left({\frac {1}{2}}w^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} \right)\times \left(w^{\mathsf {T}}\mathbf {s} -w^{\mathsf {T}}AB'^{-1}\mathbf {v} \right)e^{{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}B'^{-1}\mathbf {v} }\left({\frac {\pi ^{N}}{\det(B')}}\right)^{3/2}\,.\end{aligned}}$

其中 $B=A'+A$，$\mathbf {v} =\mathbf {s} '+\mathbf {s}$，$B'=B+\gamma ww^{\mathsf {T}}$.

基态问题的数学公式

让我们考虑一个时间无关的物理系统，其哈密顿量 H 是厄米特算符，并且从下方有界。 我们想要近似 H 的离散特征值及其波函数

$H\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}\;,$

其中我们按顺序排列特征值，使得 $E_{0}<E_{1}<...\;.$

这意味着我们想要找到这样的平方可积函数 ${f_{i}}$，使得 $\langle (H-E_{i})f_{i}|(H-E_{i})f_{i}\rangle \ll {\mathit {eps}}\times E_{i}^{2}\langle f_{i}|f_{i}\rangle$，其中一些 ${\mathit {eps}}\in \mathbf {R}$。 不幸的是，在实践中，我们不知道哈密顿量的精确特征值，因此我们必须首先找到能量的近似值 $E_{i}$。 下面的定理给了我们方法。 这里我们想将自己限制在基态，但使用 最小-最大定理，可以扩展到哈密顿量的整个离散谱

定理

对于状态空间中的任何 $\phi$，哈密顿量的期望值等于或大于基态能量 $E_{0}$.

证明

显然，函数$\phi$可以在正交基${\Psi _{n}}$中分解：$\phi =\sum a_{i}\Psi _{i}$。利用这种分解，我们可以写出哈密顿量的平均值：$E[\phi ]={\frac {<\phi |H|\phi >}{<\phi |\phi >}}={\frac {\sum _{i}|a_{i}|^{2}E_{i}}{\sum _{i}|a_{i}|^{2}}}$，由此得出$E[\phi ]=E_{0}+{\frac {\sum _{i}|a_{i}|^{2}(E_{i}-E_{0})}{\sum _{i}|a_{i}|^{2}}}\geq E_{0}\;\Box$。

这个结论通常被称为瑞兹定理，可以看作是极小极大定理的一个推论。

这个结果允许我们计算基态能量的上界。

根据魏因斯坦定理，我们可以将最初的要求$\langle (H-E_{i})f_{i}|(H-E_{i})f_{i}\rangle \ll {\mathit {eps}}\times E_{i}^{2}\langle f_{i}|f_{i}\rangle$改写为方差$\sigma ^{2}[\phi ]={\frac {<\phi |(H-E)^{2}|\phi >}{<\phi |\phi >}}$的形式。

定理

在区间${\bigg [}E[\phi ]-\sigma [\phi ],E[\phi ]+\sigma [\phi ]{\bigg ]}$中至少存在一个特征值。

证明

我们将$\phi$ 写入 ${\Psi _{n}}$ 基，得到 $\sigma ^{2}[\phi ]={\frac {\sum _{i}|a_{i}|^{2}(E_{i}-E)^{2}}{\sum _{i}|a_{i}|^{2}}}$。存在整数 $k$，使得 $(E_{k}-E)^{2}<(E_{i}-E)^{2},\forall i\neq k$。利用此，我们重写方差 $\sigma ^{2}[\phi ]=(E_{k}-E)^{2}+{\frac {\sum _{i}|a_{i}|^{2}{\bigg (}(E_{i}-E)^{2}-(E_{k}-E)^{2}{\bigg )}}{\sum _{i}|a_{i}|^{2}}}\geq (E_{k}-E)^{2}\;\Box .$

该结果可能有用，当且仅当该下限可以尽可能接近基态能量计算出来。

通过这些定理，我们看到了前进的方向

1. 在哈密顿量的态空间中选取一个方便的基。

2. 将基的大小缩减到某个有限数。

3. 在该基中最小化哈密顿量的期望值。

4. 扩大基，并执行步骤3。

5. 只要需要以确保基态能量收敛，就执行步骤3和4。

6. 计算方差。

7. 如果方差大于某个精度值，则扩大基的大小，并再次执行步骤3、4、5和6，否则就完成了。

在实践中，单独的步骤3、4和5可以给出能量的准确值。步骤6和7是用于波函数的近似计算。这是由于以下定理

定理

哈密顿量的期望值在离散特征值附近是平稳的。

证明

因此，通常更容易获得对能量而不是其他可观测量的准确近似值。

基

我们想从第一步开始：选取一些方便的基。我们希望为我们的问题定义方便的基

1. 从一个坐标系到另一个坐标系的简单变换。

2. 能够消除质心。

3. 容易计算重叠和动能。

引入重新缩放的坐标是有利的，

$\mathbf {q} _{i}={\sqrt {\frac {m_{i}}{m}}}\mathbf {r} _{i}\;,$

其中 $m$ 是一个方便选择的质量尺度。实际上，动能 $T$ 和谐波势阱 $V_{h}$ 在重新缩放的坐标系中具有更对称的形式，

$T=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{i}^{2}}}\;,V_{h}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {q} _{i}^{2}\;.$

从 $\mathbf {r}$ 到 $\mathbf {q}$ 的变换的雅可比行列式等于

${\frac {\partial (\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{N})}{\partial (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})}}=\prod _{i=1}^{N}\left({\frac {m_{i}}{m}}\right)^{3/2}\;.$

另一种适合的线性变换到一组新的坐标系是可能的，

$\mathbf {x} _{i}=\sum _{j=1}^{N}U_{ij}\mathbf {q} _{j}\;,$

或者，用矩阵表示法，

$\mathbf {x} =U\mathbf {q} \;,$

其中 $U$ 是变换矩阵。

如果变换矩阵是酉矩阵，$U^{T}U=1$，动能和谐波势阱的对角形式在新坐标系中保持不变，

$T=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{i}^{2}}}\;,V_{h}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {x} _{i}^{2}\;.$

最后一个变换在新的系统具有以下坐标时特别有用：

$\mathbf {x_{N}} \sim \sum _{i}\mathbf {r_{i}} \;,$

可以看作质心坐标。它允许我们使用以下形式的波函数

$\Psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,...,\mathbf {r_{N}} )=\Phi (\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x_{2}} ,...,\mathbf {x_{N-1}} )\phi (\mathbf {x_{N}} )\;,$

其中 $\phi (\mathbf {x_{N}} )$ 是振荡器势的基态波函数。

相关高斯通用情况

首先，我们考虑在完全通用的移位高斯基底上的试验波函数，它可以用来描述具有各向异性粒子间相互作用的外部场中的系统。

$\left|\phi \right\rangle =\sum _{k=1}^{K}C_{k}\left|A^{(k)},s^{(k)};x\right\rangle$

其中

$\left|A,s;x\right\rangle =\exp \left(-\sum _{i,j=1}^{D*n}A_{ij}(x_{i}-s_{i})(x_{j}-s_{j})\right)\equiv e^{-(x-s)^{T}A(x-s)}\;,$

$A$，一个对称正定矩阵，以及 $s$，一个位移向量，是高斯的非线性参数，n=N-1。根据这个定义，我们有 $K({\frac {1}{2}}D*n(D*n+1)+D*n)$ 个非线性变分参数。要找到这些参数，可以使用确定性方法（例如，Powell 方法）或基于随机搜索的方法。我们使用后者，尽管我们发现 $K$ 个线性变分参数通过对给定的一组非线性参数进行全最小化来找到。

矩阵元素

矩阵元素可以通过对矩阵 $B$ 进行对角化或对 $B=LL^{T}$ 进行 Cholesky 分解（因为它为正定）来解析地确定，并改变基底至矩阵为对角或单位矩阵的坐标系。通过这种方式，许多积分可以通过迭代积分来确定。

重叠

相关高斯函数通常是非正交的，因此重叠是非对角的，

$N\equiv \langle A',s';x|A,s;x\rangle =\int d^{D}x_{1}\dots \int d^{D}x_{n}e^{-(x-s)^{T}A(x-s)-(x-s')^{T}A'(x-s')}={\frac {\pi ^{\frac {D*n}{2}}}{\sqrt {\det B}}}e^{(-s^{T}As-s'^{T}A's'+{\frac {1}{4}}v^{T}B^{-1}v)}\;.$

我们定义了 $B=A+A'\;,v=2As+2A's'$

动能

这里我们计算动能

$-\langle A',s';x|{\frac {\partial }{\partial x}}^{T}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}|A,s;x\rangle =N\times \left(2{\rm {tr}}(A'\Lambda AB^{-1})+4u^{T}A'\Lambda Au-4u^{T}(A'\Lambda As+A\Lambda A's')+4s'^{T}A'\Lambda As\right)$

我们定义了 $u={\frac {1}{2}}B^{-1}v$ 对于 $\Lambda ={\frac {1}{2}}I$ 其中 $I$ 为单位矩阵，在注意到以下关系后，可以得到更简单的表达式

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}^{T}{\frac {\partial }{\partial x}}|A,s;x\rangle =({\rm {tr}}A-2(x-s)^{T}AA(x-s))|A,s;x\rangle$

为了继续，必须推导出以下恒等式

$\langle A',s';x|\left(a^{T}x\right)|A,s;x\rangle =N\times (a^{T}u)\;,$

$\langle A',s';x|\left(x^{T}Fx\right)|A,s;x\rangle =N\times \left(u^{T}Fu+{\frac {1}{2}}{\rm {tr}}(FB^{-1})\right)\;.$

为了计算

$\langle A',s';x|(-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}^{T}{\frac {\partial }{\partial x}})(-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}^{T}{\frac {\partial }{\partial x}})|A,s;x\rangle$

我们需要计算方差，所以需要计算以下矩阵元素

${\begin{array}{lcl}\langle A',s';x|(x^{T}Dx)(x^{T}D_{1}x)|A,s;x\rangle =N\times &{\bigg (}[u^{T}Du][u^{T}D_{1}u]+{\frac {1}{2}}[u^{T}D_{1}u]{\rm {tr}}(DB^{-1})+{\frac {1}{2}}[u^{T}Du]{\rm {tr}}(D_{1}B^{-1})+\\&2u^{T}DB^{-1}D_{1}u+{\frac {1}{4}}{\rm {tr}}(DB^{-1}){\rm {tr}}(D_{1}B^{-1})+{\rm {tr}}(DB^{-1}D_{1}B^{-1}){\bigg )}\;,\end{array}}$

势能

这里我们计算矩阵元素

$\langle A',s';x|V|A,s;x\rangle =\sum _{i<j}^{N}\int d^{D}x_{1}\dots \int d^{D}x_{n}V_{ij}e^{-(x-s)^{T}A(x-s)-(x-s')^{T}A'(x-s')}\;.$

一般来说，我们无法对这个积分写出解析表达式，但可以将其简化为 D 维积分。例如，考虑和式中的一个项

$I=\int d^{D}x_{1}\dots \int d^{D}x_{n}V_{ij}e^{-(x-s)^{T}A(x-s)-(x-s')^{T}A'(x-s')}\;,$

为了简化这个积分，我们需要从雅可比集 $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x_{2}} ,...,\mathbf {x_{n}} )$ 进行变换到雅可比集 $(\mathbf {y_{1}} ,\mathbf {y_{2}} ,...,\mathbf {y_{n}} )$，其中矩阵 A,A',s,s' 被定义到雅可比集 $(\mathbf {y_{1}} ,\mathbf {y_{2}} ,...,\mathbf {y_{n}} )$，其中 $\mathbf {y_{1}} =\mathbf {r_{i}} -\mathbf {r_{j}}$。这两个集合之间的变换可以通过正交矩阵 U 提供：x=Uy。利用这个，我们可以写出

$I=\int d^{D}y_{1}\dots \int d^{D}y_{n}V_{ij}(\mathbf {y_{1}} )e^{-(y-U^{T}s)^{T}U^{T}AU(y-U^{T}s)-(y-U^{T}s')^{T}U^{T}A'U(y-U^{T}s')}=\int d^{D}y_{1}V_{ij}(\mathbf {y_{1}} )f(\mathbf {y_{1}} )\;,$

其中

$f(\mathbf {y_{1}} )=\int d^{D}y_{2}\dots \int d^{D}y_{n}e^{-(y-U^{T}s)^{T}U^{T}AU(y-U^{T}s)-(y-U^{T}s')^{T}U^{T}A'U(y-U^{T}s')}\;,$

可以解析地求解。

如果我们可以将势写成高斯函数的总和 $V_{ij}(\mathbf {y_{1}} )=\sum _{k}c_{k}e^{-\sum _{a,b=1}^{a,b=D}(y_{a}-u_{a}^{k})^{T}F_{ab}^{k}(y_{b}-u_{b}^{k})}$ 那么积分 $I$ 可以用与我们求重叠相同的方式解析地求得。

具有自旋的粒子

为了考虑具有自旋的粒子，我们将自旋部分添加到试探波函数中

$\left|\phi \right\rangle =\sum _{k=1}^{K}C_{k}\left|A^{(k)},s^{(k)};x\right\rangle \chi _{k}\;$

其中对于自旋 = 1/2 的粒子，函数 $\chi _{k}$ 只是一个包含 N 个元素的数组。每个元素都是自旋在预定义轴上的投影的本征函数。例如，$\chi _{k}=|{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},...,{\frac {1}{2}}>$ 定义了所有粒子自旋方向相同的系统。接下来我们定义自旋算符 $\mathbf {s^{(i)}}$ 它以如下方式作用于粒子编号 $i$

$<\pm {\frac {1}{2}}|s_{z}^{(i)}|\pm {\frac {1}{2}}>=\pm {\frac {1}{2}}$

$<\pm {\frac {1}{2}}|s_{x}^{(i)}|\mp {\frac {1}{2}}>={\frac {1}{2}}$

$<\pm {\frac {1}{2}}|s_{y}^{(i)}|\mp {\frac {1}{2}}>=\mp {\frac {\mathbf {i} }{2}}$

其他情况为零。

自旋-轨道

这里我们讨论形式为 $V_{ij,LS}=V(|\mathbf {r_{i}} -\mathbf {r_{j}} |)\mathbf {L^{(ij)}} {\mathbf {S^{(ij)}} }$ 的自旋轨道势，其中 $\mathbf {S^{(ij)}} =\mathbf {s^{(i)}} +\mathbf {s^{(j)}}$ 以及 $L_{k}^{(ij)}=-\mathbf {i} \sum _{l,m=1}^{l,m=D}e_{klm}y_{l}{\frac {\partial }{\partial y_{m}}}$ - 相对角动量，其中 $e_{klm}$ - 列维-奇维塔符号，以及 $\mathbf {y} =\mathbf {r_{i}} -\mathbf {r_{j}}$。我们需要计算以下矩阵元素

$I_{k}=\left\langle A',s';x|V(y)e_{klm}y_{l}{\frac {\partial }{\partial y_{m}}}|A,s;x\right\rangle$

再次，我们从雅可比集 $(\mathbf {x_{1}} ,...,\mathbf {x_{n}} )$ 转换到雅可比集 $(\mathbf {y_{1}} =\mathbf {y} ,...,\mathbf {y_{n}} )$，使用变换矩阵 U: x=Uy。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}I_{k}=&\int d^{D}y_{1}\dots \int d^{D}y_{n}V(\mathbf {y_{1}} )e_{klm}y_{l}{\bigg (}-2(U^{T}AU)_{jm}(y-U^{T}s)_{j}{\bigg )}\\&e^{-(y-U^{T}s)^{T}U^{T}AU(y-U^{T}s)-(y-U^{T}s')^{T}U^{T}A'U(y-U^{T}s')},0$

具有超向量的相关高斯函数

在上一节中，我们考虑了完全通用的设置，它适用于任何粒子间势和外部场。这种方法对于例如我们感兴趣的具有各向同性成对相互作用的 N 个玻色子的基态来说远非最佳，因为在这种情况下，我们知道我们的基态必须具有零轨道角动量，考虑到这一点，我们在较小的变分基中写下试探波函数

$\left|\phi \right\rangle =\sum _{k=1}^{K}C_{k}\left|A^{(k)},\mathbf {s^{(k)}} ;x\right\rangle$

其中

$\left|A,\mathbf {s} ;x\right\rangle =\exp \left(-\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {s_{i}} )\cdot (\mathbf {x_{j}} -\mathbf {s_{j}} )\right)\equiv e^{-(\mathbf {x} -\mathbf {s} )^{T}A(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}\;.$

如果我们将位移向量设置为零 $\mathbf {s_{i}} =0,\mathbf {s_{j}} =0$，则试探波函数等效地对待向量 $\mathbf {x}$ 的笛卡尔分量，这导致零角动量，否则波函数将包含所有可能的角动量，我们需要一个有效的程序来构建给定角动量的本征态。对于此试探波函数的矩阵元可以从一般情况获得，但我们明确地写出来。

矩阵元

重叠

$N\equiv \langle A',\mathbf {s'} ;x|A,\mathbf {s} ;x\rangle =\int d^{D}x_{1}\dots \int d^{D}x_{n}e^{-(\mathbf {x} -\mathbf {s} )^{T}A(\mathbf {x} -\mathbf {s} )-(\mathbf {x} -\mathbf {s'} )^{T}A'(\mathbf {x} -\mathbf {s'} )}={\bigg (}{\frac {\pi ^{n}}{\det B}}{\bigg )}^{\frac {D}{2}}e^{(-\mathbf {s} ^{T}A\mathbf {s} -\mathbf {s'} ^{T}A'\mathbf {s'} +{\frac {1}{4}}\mathbf {v} ^{T}B^{-1}\mathbf {v} )}\;.$

其中我们定义了$B=A+A'\;,\mathbf {v} =2A\mathbf {s} +2A'\mathbf {s'}$

动能

${\begin{array}{lcl}-\langle A',\mathbf {s'} ;x|{\frac {\partial }{\partial x}}^{T}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}|A,\mathbf {s} ;x\rangle =&N\times \left(2D{\rm {tr}}(A'\Lambda AB^{-1})+4\mathbf {u} ^{T}A'\Lambda A\mathbf {u} -4\mathbf {u} ^{T}(A'\Lambda A\mathbf {s} +A\Lambda A'\mathbf {s'} )+4\mathbf {s'} ^{T}A'\Lambda A\mathbf {s} \right)=\\&N\times \left(2D{\rm {tr}}(A'\Lambda AB^{-1})+4(\mathbf {u} -\mathbf {s'} )^{T}A'\Lambda A(\mathbf {u} -\mathbf {s} )\right)\end{array}}$

其中我们定义了$\mathbf {u} ={\frac {1}{2}}B^{-1}\mathbf {v}$

角动量

我们考虑算符 $O=\sum _{i,j=1}^{i,j=n}a_{i}b_{j}[\mathbf {x_{i}} \times \mathbf {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x_{j}} }} ]\equiv [a\mathbf {x} \times b{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}]$ 的矩阵元，选择 $a,b$ 可以得到总角动量或对应相对坐标的角动量。

首先，我们计算以下形式的矩阵元

$\langle A',\mathbf {s'} ;x|a\mathbf {x} |A,\mathbf {s} ;x\rangle =N\cdot (a\mathbf {u} )$

$\langle A',\mathbf {s'} ;x|[a\mathbf {x} \times b\mathbf {x} ]|A,\mathbf {s} ;x\rangle =N\cdot (a\mathbf {u} \times b\mathbf {u} )$

现在我们可以计算算符 $O$ 的矩阵元

$\langle A',\mathbf {s'} ;x|[a\mathbf {x} \times b{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}]|A,\mathbf {s} ;x\rangle =-2\langle A',\mathbf {s'} ;x|[a\mathbf {x} \times bA\mathbf {x} ]|A,\mathbf {s} ;x\rangle +2\langle A',\mathbf {s'} ;x|[a\mathbf {x} \times bA\mathbf {s} ]|A,\mathbf {s} ;x\rangle =2N[a\mathbf {u} \times bA(\mathbf {s} -\mathbf {u} )]\;.$

我们定义总角动量为$\mathbf {L} \equiv \sum _{i}^{N}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i})$。如果我们对雅可比集合进行变换，则我们得到$\mathbf {L} =\sum _{i}^{N}(\mathbf {x} _{i}\times \mathbf {P} _{i})$，其中$\mathbf {P} _{i}$ 是对应于$i$ 坐标的线性动量。因此，如果我们假设整个系统处于静止状态，使得$\mathbf {P} _{N}=0$，则以下矩阵元素定义了总角动量

$<L^{2}>=-\hbar ^{2}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\langle A',\mathbf {s'} ;x|(\mathbf {x} _{i}\times {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{i}}})(\mathbf {x} _{k}\times {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{k}}})|A,\mathbf {s} ;x\rangle =\hbar ^{2}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\langle A',\mathbf {s'} ;x|\leftarrow (\mathbf {x} _{i}\times {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{i}}})(\mathbf {x} _{k}\times {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{k}}})|A,\mathbf {s} ;x\rangle$

经过简化（首先我们旋转到坐标系，其中矩阵$A$ 呈对角形式，然后我们旋转回来，并旋转到矩阵$A'$ 呈对角形式的坐标系，然后再旋转回来），我们得到

$<L^{2}>=4\hbar ^{2}\sum _{i,m,k,l=1}^{n}\langle A',\mathbf {s'} ;x|A_{im}'(\mathbf {x} _{i}\times \mathbf {s'} _{m})A_{kl}(\mathbf {x} _{k}\times \mathbf {s} _{l})|A,\mathbf {s} ;x\rangle$

我们取以下积分

$\langle A',\mathbf {s'} ;x|x_{m}^{l}x_{k}^{f}|A,\mathbf {s} ;x\rangle =N{\bigg (}{\frac {1}{2}}(B^{-1})_{km}\delta ^{fl}+{\frac {1}{4}}(B^{-1})_{kc}v_{c}^{f}(B^{-1})_{mn}v_{n}^{l}{\bigg )};l,f=1,2,3;m,k=1,2,...,n$

其中 $\delta ^{fl}$ 是 克罗内克δ.

利用这个，我们写下总角动量

$<L^{2}>=4\hbar ^{2}N{\bigg (}\mathbf {s'} ^{T}A'B^{-1}A\mathbf {s} +{\frac {1}{4}}\sum _{k,c}(A'B^{-1})_{kc}[\mathbf {v} _{k}\times \mathbf {s'} _{c}]\cdot \sum _{a,b}(AB^{-1})_{ab}[\mathbf {v} _{a}\times \mathbf {s} _{b}]{\bigg )}$

附录 A：一些含 3D 高斯函数的积分

未移位

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}}=\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}}{\vec {x}}^{2}={\frac {3}{2}}{\frac {1}{\beta }}\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}}({\vec {a}}{\vec {x}})({\vec {b}}{\vec {x}})=({\vec {a}}{\vec {b}}){\$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}}{\frac {({\vec {a}}{\vec {x}})({\vec {b}}{\vec {x}})}{{\vec {x}}^{2}}}=({\vec {a}}{\vec {b}}){\frac {1}{3}}\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}}=({\vec {a}}{\vec {b}}){\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta x^{2}}\left(3{\frac {({\vec {a}}{\vec {x}})({\vec {b}}{\vec {x}})}{{\vec {x}}^{2}}}-({\vec {a}}{\vec {b}})\right)=0$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}}({\vec {x}}^{2})^{2}={\frac {15}{4}}{\frac {\pi ^{3/2}}{\beta ^{7/2}}}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}}({\vec {x}}^{2})^{3}={\frac {105}{8}}{\frac {\pi ^{3/2}}{\beta ^{9/2}}}$

---

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\alpha ^{\prime }{\vec {x}}^{2}}e^{-\alpha {\vec {x}}^{2}}=\left({\frac {\pi }{\alpha +\alpha ^{\prime }}}\right)^{3/2}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\alpha ^{\prime }{\vec {x}}^{2}}{\vec {x}}^{2}e^{-\alpha {\vec {x}}^{2}}={\frac {3}{2}}{\frac {1}{\alpha +\alpha ^{\prime }}}\left({\frac {\pi }{\alpha +\alpha ^{\prime }}}\right)^{3/2}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\alpha ^{\prime }{\vec {x}}^{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\vec {x}}^{2}}}\right)e^{-\alpha {\vec {x}}^{2}}=6{\frac {\alpha \alpha ^{\prime }}{\alpha +\alpha ^{\prime }}}\left({\frac {\pi }{\alpha +\alpha ^{\prime }}}\right)^{3/2}$

---

n 体

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}x_{1}\dots d^{3}x_{n}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\prime }{\vec {x}}_{i}^{2}\right)\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}^{2}\right)=\left({\frac {\pi ^{n}}{\prod _{i=1}^{n}(\alpha _{i}+\alpha _{i}^{\prime })}}\right)^{3/2}$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{d}^3{x}_1\dots d^3{x}_n\exp \left(-\sum _{ij}{\overrightarrow{x}}_i{A}_{ij}^{\mathrm{\prime }}{\overrightarrow{x}}_j\right)\exp (-\sum _{ij}{\overrightarrow{x}}_i{A}_{ij}{\overrightarrow{x}}_j$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}x_{1}\dots d^{3}x_{n}\exp \left(-\sum _{ij}{\vec {x}}_{i}A_{ij}^{\prime }{\vec {x}}_{j}\right)\sum _{ij}{\vec {x}}_{i}F_{ij}{\vec {x}}_{j}\exp \left(-\sum _{ij}{\vec {x}}_{i}A_{ij}{\vec {x}}_{j}\right)=\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}{\frac {3}{2}}\;\mathrm {trace} (FB^{-1}),B=A+A^{\prime }$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}x_{1}\dots d^{3}x_{n}\exp \left(-\sum _{ij}{\vec {x}}_{i}A_{ij}^{\prime }{\vec {x}}_{j}\right)\sum _{ij}\left(-{\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{i}}}\Lambda _{ij}{\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}_{j}}}\right)\exp \left(-\sum _{ij}{\vec {x}}_{i}A_{ij}{\vec {x}}_{j}\right)=\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}6\;\mathrm {trace} (A^{\prime }\Lambda AB^{-1}),B=A+A^{\prime }$

平移

${\vec {u}}\doteq {\frac {1}{2}}\beta ^{-1}{\vec {v}}\;,$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}+{\vec {v}}{\vec {x}}}=e^{{\frac {1}{4}}{\frac {{\vec {v}}^{2}}{\beta }}}\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}+{\vec {v}}{\vec {x}}}{\vec {a}}{\vec {x}}=\left({\vec {a}}{\frac {\partial }{\partial {\vec {v}}}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\frac {{\vec {v}}^{2}}{\beta }}}\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}={\frac {1}{2\beta }}\left({\vec {a}}{\vec {v}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\frac {{\vec {v}}^{2}}{\beta }}}\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}=\left({\vec {a}}{\vec {u}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\frac {{\vec {v}}^{2}}{\beta }}}\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}\;,$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d^{3}xe^{-\beta {\vec {x}}^{2}+{\vec {v}}{\vec {x}}}{\vec {x}}^{2}=\left({\frac {3}{2}}{\frac {1}{\beta }}+{\vec {u}}^{2}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\frac {{\vec {v}}^{2}}{\beta }}}\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)^{3/2}$

---

为了简化表达式，我们需要引入一些符号

${\tilde {x}}\doteq \left({\begin{array}{c}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{n}\end{array}}\right)\;,\;({\tilde {x}})_{i}={\vec {x}}_{i}\;,\;\left(B{\tilde {x}}\right)_{i}\doteq \sum _{j}B_{ij}{\vec {x}}_{j}\;,\;\left({\tilde {x}}^{T}B\right)_{i}\doteq \sum _{j}{\vec {x}}_{j}B_{ji}\;,\;{\tilde {v}}^{T}{\tilde {x}}\doteq \sum _{i=1}^{n}{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {x}}_{i}\;.$

$d{\tilde {x}}\doteq d^{3}x_{1}\dots d^{3}x_{n}\;.$

---

$\int _{-\infty }^{+\infty }d{\tilde {x}}e^{-{\tilde {x}}^{T}B{\tilde {x}}+{\tilde {v}}^{T}{\tilde {x}}}=e^{{\frac {1}{4}}{\tilde {v}}^{T}B^{-1}{\tilde {v}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d{\tilde {x}}e^{-{\tilde {x}}^{T}B{\tilde {x}}+{\tilde {v}}^{T}{\tilde {x}}}\left({\tilde {a}}^{T}{\tilde {x}}\right)=\left({\tilde {a}}^{T}{\frac {\partial }{\partial {\tilde {v}}^{T}}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\tilde {v}}^{T}B^{-1}{\tilde {v}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}=\left({\tilde {a}}^{T}{\tilde {u}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\tilde {v}}^{T}B^{-1}{\tilde {v}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\;,\;{\tilde {u}}={\frac {1}{2}}B^{-1}{\tilde {v}}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d{\tilde {x}}e^{-{\tilde {x}}^{T}B{\tilde {x}}+{\tilde {v}}^{T}{\tilde {x}}}\left({\tilde {a}}^{T}{\tilde {x}}\right)\left({\tilde {b}}^{T}{\tilde {x}}\right)=\left({\tilde {a}}^{T}{\frac {\partial }{\partial {\tilde {v}}^{T}}}\right)\left({\tilde {b}}^{T}{\frac {\partial }{\partial {\tilde {v}}^{T}}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\tilde {v}}^{T}B^{-1}{\tilde {v}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}=\left({\frac {1}{2}}{\tilde {a}}^{T}B^{-1}{\tilde {b}}+({\tilde {a}}^{T}{\tilde {u}})({\tilde {b}}^{T}{\tilde {u}})\right)e^{{\frac {1}{2}}{\tilde {v}}^{T}{\tilde {u}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\;,\mathrm {where} \;B=B^{T}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }d{\tilde {x}}e^{-{\tilde {x}}^{T}B{\tilde {x}}+{\tilde {v}}^{T}{\tilde {x}}}\left({\tilde {x}}^{T}F{\tilde {x}}\right)=\left({\frac {3}{2}}\mathrm {trace} (FB^{-1})+{\tilde {u}}^{T}F{\tilde {u}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\tilde {v}}^{T}B^{-1}{\tilde {v}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\;,\;$

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{+\infty }d{\tilde {x}}\;e^{-{\tilde {x}}^{T}A'{\tilde {x}}+{\tilde {s}}'^{T}{\tilde {x}}}\left(-{\frac {\partial }{\partial {\tilde {x}}}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial {\tilde {x}}^{T}}}\right)e^{-{\tilde {x}}^{T}A{\tilde {x}}+{\tilde {s}}^{T}{\tilde {x}}}\\&=\left(6\mathrm {trace} (A'\Lambda AB^{-1})+4{\tilde {u}}^{T}A'\Lambda A{\tilde {u}}-2{\tilde {u}}^{T}A'\Lambda {\tilde {s}}-2{\tilde {s}}'^{T}\Lambda A{\tilde {u}}+{\tilde {s}}'^{T}\Lambda {\tilde {s}}\right)e^{{\frac {1}{4}}{\tilde {v}}^{T}B^{-1}{\tilde {v}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)^{3/2}\;,\;B=A+A'\;,\;{\tilde {v}}={\tilde {s}}+{\tilde {s}}'\end{aligned}}$

附录 B: 一些包含一维高斯函数的积分

首先是重叠（表示为 N，在以下表达式中使用）

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}=e^{{\frac {1}{4}}{\vec {v}}B^{-1}{\vec {v}}}\left({\frac {\pi ^{n}}{\det(B)}}\right)=N\end{aligned}}$

类似多项式的项

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times \left({\vec {a}}^{T}{\vec {x}}\right)=N\times {\frac {1}{2}}\left({\vec {a}}^{T}B^{-1}{\vec {v}}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times \left({\vec {x}}^{T}F{\vec {x}}\right)=N\times \left[{\frac {1}{2}}Trace\left(FB^{-1}\right)+{\frac {1}{4}}{\vec {v}}^{T}B^{-1}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}$

对于任何具有正确维度的矩阵 F，包括 $F={\vec {a}}{\vec {b}}^{T}$.

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times \left({\vec {a}}^{T}{\vec {x}}{\vec {x}}^{T}F{\vec {x}}\right)=\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times \left({\vec {x}}^{T}F{\vec {x}}\right)\left({\vec {x}}^{T}P{\vec {x}}\right)=\end{aligned}}$

指数和正弦项

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times ae^{{\vec {c}}^{T}{\vec {x}}}=N\times ae^{{\frac {1}{4}}{\vec {c}}^{T}B^{-1}{\vec {c}}+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}B^{-1}{\vec {v}}}\end{aligned}}$

(余)弦项

根据欧拉公式，(余)弦可以用复数表示，利用线性关系，我们可以将上述矩阵元用复数向量 ${\vec {c}}=i{\vec {l}}$ 表示的上述矩阵元的（实）虚部来表示。

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times a\cos \left({\vec {l}}^{T}{\vec {x}}\right)=N\times a\cos \left({\frac {1}{2}}{\vec {l}}^{T}B^{-1}{\vec {v}}\right)e^{{\frac {-1}{4}}{\vec {l}}B^{-1}{\vec {l}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times a\sin \left({\vec {l}}^{T}{\vec {x}}\right)=N\times a\sin \left({\frac {1}{2}}{\vec {l}}^{T}B^{-1}{\vec {v}}\right)e^{{\frac {-1}{4}}{\vec {l}}B^{-1}{\vec {l}}}\end{aligned}}$

---

高斯项

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times G_{0}{\sqrt {\frac {g}{\pi }}}e^{-g\left({\vec {a}}^{T}{\vec {x}}-R\right)^{2}}=N\times {\sqrt {\frac {g}{\pi \left(1+g{\vec {a}}^{T}B^{-1}{\vec {a}}\right)}}}e^{{\frac {-g}{1+g{\vec {a}}^{T}B^{-1}{\vec {a}}}}\left({\frac {1}{2}}{\vec {a}}^{T}B^{-1}{\vec {v}}-R\right)^{2}}\end{aligned}}$

Delta 项

这可以被计算为先前矩阵元素的极限情况 $g\rightarrow \infty$

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\,d{\vec {x}}e^{-{\vec {x}}^{T}B{\vec {x}}+{\vec {v}}^{T}{\vec {x}}}\times \delta \left({\vec {a}}^{T}{\vec {x}}-R\right)=N\times {\sqrt {\frac {1}{\pi {\vec {a}}^{T}B^{-1}{\vec {a}}}}}e^{{\frac {-1}{{\vec {a}}^{T}B^{-1}{\vec {a}}}}\left({\frac {1}{2}}{\vec {a}}^{T}B^{-1}{\vec {v}}-R\right)^{2}}\end{aligned}}$