数据编码理论/模二运算

模

模运算，通常用“%”运算符表示，在数据编码中是一个有用的运算。模是指两个数相除后得到的余数。例如，如果我们将 10 除以 3，不计算小数点，我们将得到

${\frac {10}{3}}=3$

余数为

$10\%3=1$

在除法中，我们通常有以下公式

$s=n\times d+r$

其中s是我们的被除数，d是我们的除数，n是我们的商，r是余数。从这个公式，我们有两种运算

$s\div d=n$

$s\%d=r$

请注意，从这些公式中可以看出r必须始终小于d。

模二运算

模二运算是一种算术系统，其中每个结果都取模二。以下是一些例子

$(10+5)_{\%2}=1$

$(2\times 8)_{\%2}=0$

简而言之，如果结果为奇数，则运算结果为 1，如果结果为偶数，则运算结果为 0。由于我们在数据编码中处理的是单个位，因此我们的大多数操作数将是 1 或 0。只要我们的操作数是 1 或 0，我们的结果是模二，我们写入的所有数字都应该是 1 或 0。

模二运算的一个常见应用是在数字电路中，其中逻辑运算都是模二进行的。

模二运算符

在我们的模二运算系统中，我们定义了新的运算符。这些运算符通常与布尔逻辑运算符非常相似，因此我们将在下面讨论布尔逻辑运算符。

加法

要添加两个数字，我们对结果取模二。以下是加法运算的真值表

+	0	1
0	0	1
1	1	0

如果您熟悉布尔逻辑，您会发现加法与异或运算相同。因此，我们将交替使用“加法”和“异或”这两个术语，并将模二加法运算用“圆圈加号”表示

$1\oplus 1=0$

乘法

模二乘法正常进行，不需要定义新的运算符。以下是乘法运算的真值表

×	0	1
0	0	0
1	0	1

这与布尔“与”运算完全相同。我们将交替使用“乘法”和“与”这两个词。

减法和除法运算在数据编码中很少见，因此我们不会在这里讨论它们。