密度泛函理论/霍亨伯格-科恩定理

霍亨伯格-科恩定理

1. 如果两个电子体系，一个被困在一个势能 $v_{1}({\vec {r}})$ 中，另一个被困在一个势能 $v_{2}({\vec {r}})$ 中，具有相同的基态密度 $n({\vec {r}})$ ，那么必然地 $v_{1}({\vec {r}})-v_{2}({\vec {r}})=const$ 。

推论：基态密度唯一地确定了势能，从而确定了体系的所有性质，包括多体波函数。特别是，“HK”泛函，定义为 $F[n]=T[n]+U[n]$ 是密度的通用泛函（不显式依赖于外部势能）。

2. 对于任何正整数 $N$ 和势能 $v({\vec {r}})$ ，存在一个密度泛函 $F[n]$ ，使得 $E_{(v,N)}[n]=F[n]+\int {v({\vec {r}})n({\vec {r}})d^{3}r}$ 在 $N$ 个电子在势能 $v({\vec {r}})$ 中的基态密度处取得最小值。 $E_{(v,N)}[n]$ 的最小值就是该体系的基态能量。