微分几何/弧长

向量函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的长度定义为

$\sup \left\{x{\Bigg |}t_{n}\in [a,b],t_{n}<t_{n+1},x=\sum _{k=1}^{n}{\Big |}f(t_{k})-f(t_{k-1}){\Big |}\right\}$

如果这个数字是有限的，那么这个函数是可求长的。

对于连续可微的向量函数，该向量函数在区间 $[a,b]$ 上的弧长将等于 $\int \limits _{a}^{b}\left|{\vec {f}}'(x)\right|dx$ 。

证明

考虑一个划分 $a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b$ ，并将其称为 $P_{n}$ 。令 $P_{n+1}$ 为划分 $P_{n}$ 添加一个点后的划分，令 $\lim _{n\to \infty }\max\{t_{n}-t_{n-1}\}=0$ ，令 $l_{n}$ 为连接向量函数的 $f(x)$ 线段的弧长。根据均值定理，在第 n 个划分中存在一个数字 $t_{n}'$ ，使得

${\sqrt {\sum _{i=1}^{3}{\Big (}x_{i}(t_{n})-x_{i}(t_{n-1}){\Big )}^{2}}}=(t_{n}-t_{n-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{n}')}}$

因此，

$l_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}{\Big (}x_{i}(t_{j})-x_{i}(t_{j-1}){\Big )}^{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}$

它等于

$\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}+\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1})\left({\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}-{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}\right)$

这个值

${\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}-{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}$

将记为 $d_{j}$ 。根据三角不等式，

$d_{j}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{3}(x_{i}'(t_{j}')-x_{i}'(t_{j}))^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{3}{\Big |}x_{i}'(t_{j}')-x_{i}'(t_{j}){\Big |}$

每个分量至少连续可微一次。因此，对于任何 $\varepsilon >0$ ，存在一个 $\delta >0$ 使得

${\Big |}x_{i}'(a)-x_{i}'(b){\Big |}<{\frac {\varepsilon }{3}}$ 当 $|a-b|<\delta$ 。

因此，如果 $\max\{t_{n}-t_{n-1}\}<\delta$ 那么 $d_{j}<\varepsilon$ ，因此

$\left|\sum _{j=1}^{n}(t_{n}-t_{n-1})\right|d_{j}<\varepsilon (b-a)$ 当 n 趋于无穷大时，它趋于 0。

因此，数量

$\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1}){\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}+\sum _{j=1}^{n}(t_{j}-t_{j-1})\left({\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j}')}}-{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}x_{i}'(t_{j})}}\right)$

趋近于积分 $\int \limits _{a}^{b}\left|{\vec {f}}'(x)\right|dx$ ，因为右边的项趋于 0。

如果存在从 $[a',b']$ 的另一个参数表示，并且获得另一个弧长，那么

$\int \limits _{a'}^{b'}{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}}}\left|{\frac {dt}{dt'}}\right|dt'=\int \limits _{a'}^{b'}{\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {dx_{i}}{dt'}}\right)^{2}}}dt'$

表明它对于任何参数表示都是相同的。

函数 $s(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\left|{\vec {f}}'(x)\right|dx$，其中 $t_{0}$ 为常数，称为曲线的弧长参数。它的导数结果为 ${\Big |}f'(x){\Big |}$。