微分几何/基本概念

考虑n个函数，x₁(t), x₂(t), x₃(t), ..., x_n(t)。然后考虑Rⁿ中的向量f函数，它由f(t)=(x₁(t), x₂(t), x₃(t), ..., x_n(t))给出，称为集合M的参数表示，其中M是该函数的像。

这里将考虑的点集必须能够用参数表示（称为允许的参数表示）f(t)表示，其中

1. 函数f是连续可微的。
2. 导数f'(t)对于所有t均不等于零向量。

这里最重要的不是向量函数的单个参数表示，而是具有相同性质的向量函数的等价类。这些等价类称为弧。

集合的两个参数表示f₁(x)和f₂(x)被称为等价的，如果

1. f₁⁻¹(f₂(t))在闭区间[a,b]上定义。
2. f₁⁻¹(f₂(t))是连续可微的。
3. f₁⁻¹(f₂(t))≠0对于所有t∈[a,b]

向量函数f(t₁)=f(t₂) (t₁≠t₂)中的一个点称为多点。没有多点的弧是简单的。

弧本身作为向量函数是连续的。设$\epsilon >0$. 由于每个$x_{k}$是连续的，因此对于每个$k$存在一个$\delta _{k}$，使得

$\left|x_{k}(t_{1})-x_{k}(t_{2})\right|<{\frac {\epsilon }{\sqrt {n}}}\quad {\text{if}}\quad \left|t_{1}-t_{2}\right|<\delta _{k}$

设δ = min{δ_k}。那么当|t₁-t₂|<ε时，|f(t₁)-f(t₂)|=${\sqrt {\textstyle \sum _{k=1}^{n}(x_{k}(t_{1})-x_{k}(t_{2}))^{2}}}$<ε.

因此，所有简单弧都与线段同胚。

最后，曲线是可以用弧表示的点集，使得对于弧中的所有函数，存在一个区间，其像为曲线，并且该区间的任何子区间都是某个集合的允许参数表示。

闭曲线是用周期函数表示的曲线。所有闭曲线都与圆同胚。